Gerakan rata rata bergerak brownian

MetaTrader Expert Advisor Dekalog Blog adalah situs yang menarik dimana penulis, Dekalog, mencoba mengembangkan cara baru dan unik untuk menerapkan analisis kuantitatif terhadap perdagangan. Dalam sebuah posting baru-baru ini, ia membahas penggunaan konsep Brownian Motion dengan cara yang akan menciptakan band di sekitar harga penutupan chart8217s. Band-band tersebut akan mewakili periode non-tren, dan trader dapat mengidentifikasi kapan harganya di luar band sebagai periode tren. Metode Dekalog8217 menggunakan Motion Brown menciptakan pita atas dan bawah yang menentukan kondisi tren. Akar sebagian besar setiap trend mengikuti sistem trading adalah cara untuk mendefinisikan suatu trend yang ada dan menentukan arahnya. Dengan menggunakan ide Gerak Brown Dekalog8217 sebagai akar dari sebuah sistem mungkin merupakan cara unik untuk mengidentifikasi tren dan mendapatkan keuntungan dari pasar melalui tren tersebut. Inilah bagaimana Dekalog menjelaskan konsepnya: Premis dasar, yang diambil dari gerak Brown, adalah bahwa log alami perubahan harga rata-rata pada tingkat yang sebanding dengan akar kuadrat waktu. Ambillah, misalnya, periode 5 yang mengarah ke bar 8220 saat ini.8221 Jika kita mengambil rata-rata pergerakan sederhana 5 periode dari perbedaan mutlak log harga selama periode ini, kita mendapatkan nilai untuk pergerakan harga rata-rata 1 bar Selama periode ini Nilai ini kemudian dikalikan dengan akar kuadrat dari 5 dan ditambahkan ke dan dikurangkan dari harga 5 hari yang lalu untuk mendapatkan batas atas dan bawah untuk bar saat ini. Dia kemudian menerapkan batas atas dan bawah ini ke grafik: Jika bar saat ini berada di antara batas, kami mengatakan bahwa pergerakan harga selama 5 periode terakhir konsisten dengan gerakan Brown dan menyatakan tidak adanya tren, yaitu pasar sideways. Jika bar saat ini berada di luar batas, kami menyatakan bahwa pergerakan harga selama 5 bar terakhir tidak sesuai dengan gerakan Brown dan bahwa sebuah tren berlaku, baik naik turun tergantung pada batas bar yang ada. Dekalog juga percaya bahwa konsep ini dapat memiliki nilai di luar sekedar menjadi indikator: Sangat mudah untuk membayangkan banyak penggunaan untuk hal ini dalam hal pembuatan indikator, namun saya bermaksud menggunakan batasan untuk menetapkan skor kepekaan harga secara acak selama berbagai periode gabungan untuk menetapkan harga Pindah ke tempat sampah untuk pembuatan Monte Carlo berikutnya dari seri harga sintetis. Gerak Terindah dan Pasar FOREX Oleh Armando Rodriguez Ini tidak akan menjadi yang pertama bahwa formulasi yang dikembangkan untuk fenomena di lapangan berhasil digunakan di tempat lain, bahkan memiliki sebuah nama, dan itu Disebut analogi. Ada banyak contoh analogi formulasi untuk menyelesaikan struktur mekanis statis sama dengan yang digunakan untuk memecahkan jaringan listrik sehingga berita menyebar seperti tinta dalam air hujan, dan banyak lainnya. Di sini kita menetapkan analogi perubahan harga pasar FOREX terhadap gerakan Brown. Juga analogi dilakukan bukan hanya untuk kesenangan simetri alam tapi biasanya setelah beberapa tujuan praktis. Dalam hal ini kita ingin tahu kapan sebuah algoritma perdagangan tidak mungkin untung dan jadi trading harus ditunda. Gerakan Brownian Brownian Brown (dinamai untuk menghormati ahli botani Robert Brown) awalnya mengacu pada gerakan acak yang diamati di bawah mikroskop serbuk sari yang direndam dalam air. Ini membingungkan karena partikel serbuk sari yang tersuspensi dalam air yang sangat bersih tidak memiliki alasan yang jelas untuk memindahkan semua. Einstein menunjukkan bahwa gerakan ini disebabkan oleh pemboman acak molekul air panas yang memanas pada serbuk sari. Itu hanya hasil dari sifat molekuler materi. Teori modern menyebutnya sebagai proses stokastik dan telah terbukti dapat dikurangi menjadi gerak walker acak. Walker acak satu dimensi adalah salah satu yang cenderung maju selangkah mundur, katakan sumbu X, pada waktu tertentu. Pelacak acak bidimensi melakukan hal yang sama pada X atau Y (lihat ilustrasi). Harga saham sedikit berubah pada setiap transaksi, harga beli akan meningkatkan nilai jualnya akan menurunkannya. Tunduk pada ribuan transaksi jual beli harga saham harus menunjukkan gerakan Brown satu dimensi. Ini adalah topik tesis PhD Louis Bachelier pada tahun 1900, quotThe teori spekulasi. quot. Ini menyajikan analisis stokastik pasar saham dan opsi. Tingkat urrency C harus berperilaku sangat banyak seperti partikel serbuk sari dalam air juga. Brownian Spectrum Sebuah properti menarik dari gerak Brown adalah spektrumnya. Setiap fungsi periodik dalam waktu dapat dianggap sebagai jumlah rangkaian fungsi sinekosin frekuensi tak terbatas yang banyak ke kebalikan dari periode tersebut. Ini disebut seri Fourier. Konsep ini dapat diperluas lebih jauh ke fungsi non periodik, yang memungkinkan periode berjalan tak terbatas, dan ini akan menjadi integral Fourier. Alih-alih urutan amplitudo untuk setiap beberapa frekuensi Anda berurusan dengan fungsi frekuensi, fungsi ini disebut spektrum. Representasi sinyal di ruang frekuensi adalah bahasa umum dalam transmisi informasi, modulasi dan noise. Equalizer grafis, termasuk bahkan di peralatan audio rumah atau program audio PC, telah membawa konsep dari komunitas sains ke rumah tangga Hadir dalam sinyal yang berguna adalah kebisingan. Ini adalah sinyal yang tidak diinginkan, acak di alam, dari asal fisik yang berbeda. Spektrum kebisingan berkaitan dengan asal-usulnya: Suara ohnsonNyquist (kebisingan panas, kebisingan Johnson, atau kebisingan Nyquist) adalah suara elektronik yang dihasilkan oleh agitasi termal pembawa muatan (biasanya elektron) di dalam konduktor listrik pada kesetimbangan, yang mana Terjadi terlepas dari tegangan yang diberikan. Kebisingan termal kira-kira putih. Artinya kerapatan spektral daya sama di seluruh spektrum frekuensi. Flicker noise adalah jenis suara elektronik dengan spektrum 1f atau pink. Oleh karena itu sering disebut sebagai noise atau noise pink. Meskipun istilah ini memiliki definisi yang lebih luas. Itu terjadi di hampir semua perangkat elektronik. Dan hasil dari berbagai efek, seperti kotoran dalam saluran konduktif, generasi dan rekombinasi kebisingan di transistor karena arus basis, dan seterusnya. Akhirnya suara Brown atau noise merah adalah jenis noise signal yang dihasilkan oleh gerak Brown. Kepadatan spektralnya sebanding dengan 1f 2. artinya memiliki lebih banyak energi pada frekuensi rendah, bahkan lebih daripada noise pink. Pentingnya diskusi ini adalah bahwa ketika Anda menghitung spektrum sinyal tingkat FOREX, hal itu terjadi untuk memiliki ketergantungan 1f 2, yang berarti juga sifat Brownian. Perilaku dalam Waktu Perilaku pasar FOREX karena tidak adanya kejadian juga berperilaku sempurna dengan Brown. Ini mengatakan bahwa tingkat FOREX berperilaku seperti pejalan kaki acak unidimentional. Kepadatan probabilitas untuk menemukan walker acak pada posisi x setelah waktu t mengikuti hukum Gaussian. Dimana s adalah standar deviasi, bahwa untuk walker acak adalah fungsi dari akar kuadrat dari t dan inilah tingkat FOREX mengikuti kesempurnaan eksperimental seperti yang ditunjukkan di bawah ini untuk kutipan EURUSD pada gambar 1. Ekspresi analitis untuk gambar di atas dengan Tingkat di pips dan t dalam beberapa menit dari waktu awal t 0: Rata-rata, ada 45 kutipan EURUSD dalam satu menit, jadi ungkapan di atas dapat dimasukkan dalam istilah kutipan N setelah waktu awal. Drift dan Gerak Acak Gerak partikel serbuk sari dapat dikatakan memiliki dua komponen, satu sifat acak yang dijelaskan di atas, namun jika cairannya memiliki aliran ke beberapa arah, maka gerakan drift dilapiskan ke Brown. Pasar FOREX menyajikan kedua jenis gerakan, komponen acak frekuensi yang lebih tinggi dan gerakan drift yang lebih lambat yang disebabkan oleh berita yang mempengaruhi tingkat suku bunga. Gerak acak itu buruk bagi bisnis spekulasi, tidak ada cara untuk membukukan keuntungan pada pasar acak yang sempurna. Hanya gerakan drift yang bisa menghasilkan keuntungan. Keacakan pasar tidak konstan dalam waktu dan tidak ada gerakan melayang. Selama acara berita, gerakan drift besar dan selama acara menghasilkan keuntungan, Tapi ada kejadian yang lebih bersih dimana algoritme otomatis bekerja paling baik dan ada yang kotor, dengan banyak keacakan, yang bisa mendorong algoritma paling cerdas ke dalam kekalahan. Suhu Pasangan Mata Uang Pasar Forex FOREX Dalam sistem fisik, intensitas pergerakan partikel Brown dapat diambil sebagai kuadrat rata-rata kecepatan acaknya dan ini sebanding dengan suhu dan berbanding terbalik dengan massa partikel. Kecepatan acak adalah perbedaan kecepatan total dikurangi dengan kecepatan rata-rata atau kecepatan drift. Perasaan sebenarnya terhadap kecepatan drift adalah kecepatan rata-rata sejumlah besar partikel pada waktu tertentu yang mengindikasikan bahwa seluruh tubuh partikel cair dan tersuspensi bergerak secara keseluruhan. Tapi, karena kecepatan acak harus rata-rata dalam waktu nol, rata-rata kecepatan partikel tunggal dalam waktu juga sama dengan kecepatan drift. Dalam analogi pasar FOREX, tingkat pasangan mata uang adalah partikel satu dimensi dan karenanya, kecepatan setiap saat adalah pergerakan kutipan sejak kutipan terakhir pada waktu t 0 dibagi dengan interval waktu. Kecepatan rata-rata akan menjadi rata-rata bergerak eksponensial dari harga penawaran. Suhu pasangan mata uang Tcp kemudian akan menjadi: Tcp (m3K) ltVrdm 2 gt Massa pasangan mata uang adalah besaran yang harus ditentukan, sehingga konstanta Boltzman tidak ada artinya di sini. Namun, intensitas rata-rata jangka panjang gerakan tingkat Brown diamati bergantung pada pasangan mata uang, sehingga tampaknya menunjukkan massa yang berbeda. Menemukan massa untuk setiap pasangan mata uang akan memungkinkan referensi umum untuk suhu. Jika kita mengambil massa EUR sebagai 1, maka: Massa di atas menghasilkan suhu rata-rata yang hampir sama dengan 300 K yang sama dengan suhu kamar dalam skala Kelvin yang sesuai dengan 27 derajat Celcius. Atau 80,6 Fahrenheit. Tapi selain fanciness itu tidak memberikan wawasan yang lebih dalam tentang masalah ini. Pembuatan (m3K) 1, membuat suhu yang sama dengan varians dari kecepatan. Karena akar kuadrat varians adalah standar deviasi, definisi suhu semacam itu memberi gambaran tentang seberapa hebat gerakan acak ada di pips. Deteksi Peristiwa dan Suhu Mata Uang Sebuah peristiwa berita yang mempengaruhi nilai dolar AS dapat dideteksi saat suku bunga ke seluruh mata uang utama berubah secara konsisten. Dengan kata lain, ketika pergerakan tingkat terjadi berkorelasi. (Lihat Lampiran A pada perhitungan Pemicu Peristiwa) Ekspresi numerik dari korelasi ini adalah rata-rata perbedaan pada EMA (Exponential Moving Average) terhadap semua mata uang utama. Masalah dengan pendekatan ini adalah bahwa mata uang yang signifikan untuk dipertimbangkan tidak sebanyak itu, sebenarnya hanya 6 pasang yang bisa digunakan. Rata-rata sampel kecil seperti itu tidak kebal terhadap gerakan acak dan cenderung membuat kesalahan positif. Deteksi bisa diperbaiki jika kontribusi rata-rata dibalikkan secara terbalik oleh suhu pasangan. Lebih tepatnya: direnungkan oleh probabilitas kecepatan laju yang diamati bukan karena sifat gerak Brown. Mengetahui bahwa distribusi kecepatan dalam gerakan Brown adalah Gaussian, jika tidak ada kejadian, probabilitas untuk mengamati kecepatan di bawah nilai V dapat dihitung oleh area di bawah kurva kepadatan probabilitas Gaussian: Dengan kata lain, kurva tersebut memberi tahu kita tentang hal ini: Pertimbangkan pasangan EURUSD yang biasanya menunjukkan ltVrdm 2 gt 2,4 pipssecond, kecepatan di bawah nilai ini diamati 68,2 dari waktu, di luar Only 31.8. Jadi, adil untuk mengatakan bahwa jika kecepatan yang diamati di atas, katakanlah 6 hal itu sangat tidak mungkin (4.4) bahwa itu berasal dari keacakan. Ekspresi matematis dari probabilitas kecepatan V, tidak acak adalah: P erf ((V 2 ltVrdm 2 gt)) Dimana erf (x) dikenal sebagai fungsi error. Rata-rata korelasi yang direnungkan sekarang adalah: LAMPIRAN A Pemicu Peristiwa TriggerStrong gerakan Brown fraksional dengan memindahkan rata-rata jalan acak sederhana Pl Rvsz pada kesempatan ulang tahunnya yang ke 65 Tams Szabados Departemen Matematika, Universitas Teknik Budapest, Egry u 20-22 , H hal. V em. Budapest, 1521, Hungaria Diterima pada tanggal 19 Desember 1999. Revisi 29 Agustus 2000. Diterima pada tanggal 4 September 2000. Tersedia secara online 9 Februari 2001. Gerakan Brown yang fraksional adalah generalisasi gerakan Brown yang biasa, yang digunakan terutama bila ketergantungan jarak jauh diperlukan. Pengenalannya yang eksplisit adalah karena Mandelbrot dan van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) sebagai proses Gaussian yang serupa dengan W (H) (t) dengan penambahan stasioner. Disini kesamaan diri berarti bahwa, di mana H (0,1) adalah parameter Hurst gerak Brown pecahan. F. B. Knight memberikan konstruksi gerakan Brown yang biasa sebagai batas jalan acak sederhana pada tahun 1961. Kemudian metodenya disederhanakan oleh Rvsz (Random Walk in Random and Non-Random Environments, World Scientific, Singapore, 1990) dan kemudian oleh Szabados (Studia Sci Math (Hungaria) 31 (1996) 249297). Pendekatan ini cukup alami dan mendasar, dan dengan demikian, dapat diperluas ke situasi yang lebih umum. Berdasarkan hal ini, di sini kita menggunakan rata-rata bergerak dari rangkaian jalan acak sederhana yang nested yang hampir pasti secara seragam menyatu dengan gerak Brown pecahan pada compacts saat. Tingkat konvergensi yang dibuktikan dalam kasus ini adalah, di mana N adalah jumlah langkah yang digunakan untuk aproksimasi. Jika lebih akurat (tapi juga lebih rumit) Komls dkk. (1975,1976) aproksimasi digunakan sebagai pengganti gerakan acak sederhana ke dalam gerak Brown biasa, maka jenis rata-rata bergerak yang sama hampir secara pasti menyatu dengan gerakan Brown pecahan pada compacts untuk setiap H (0,1). Selain itu, tingkat konvergensi diprediksi sebagai yang terbaik, meski hanya terbukti di sini. Gerakan Fraksional Brownian Konstruksi tegak Kuat Pendekatan yang kuat Berjalan secara acak Rata-rata bergerak 1 Gerak Fraksi Brown Fraktur Gerak Brownian fraksional (fBM) adalah generalisasi gerakan Brownian biasa (BM) yang digunakan terutama bila ketergantungan jarak jauh sangat penting. Meskipun sejarah fBM dapat ditelusuri kembali ke Kolmogorov (1940) dan yang lainnya, pengenalan eksplisitnya adalah karena Mandelbrot dan van Ness (1968). Niat mereka adalah mendefinisikan diri serupa. Proses Gaussian berpusat dengan kenaikan stasioner tapi tidak independen dan dengan jalur contoh kontinu a. s. Disini kesamaan diri berarti bahwa untuk setiap gt0, di mana H (0,1) adalah parameter Hurst dari fBM dan menunjukkan persamaan dalam distribusi. Mereka menunjukkan bahwa ciri-ciri ini mengkarakterisasi fBM. Kasus ini mengurangi BM biasa dengan penambahan secara independen, sementara kasus (resp) memberi peningkatan yang negatif secara negatif (lihat positif) lihat Mandelbrot dan van Ness (1968). Nampaknya dalam aplikasi fBM, kasus ini paling sering digunakan. Mandelbrot dan van Ness (1968) memberikan representasi eksplisit fBM berikut sebagai rata-rata bergerak biasa, tapi dua sisi BM: di mana t 0 dan (x) max (x, 0). Gagasan (2) berhubungan dengan deterministik pecahan kalkulus. Yang memiliki sejarah yang lebih panjang dari pada fBM, kembali ke Liouville, Riemann, dan yang lainnya melihat di Samko dkk. (1993). Kasus yang paling sederhana adalah ketika fungsi kontinyu f dan bilangan bulat positif diberikan. Kemudian sebuah induksi dengan integrasi oleh bagian-bagiannya dapat menunjukkan bahwa orde iterasi antiderivative (or order integral) dari f. Di sisi lain, integral ini didefinisikan dengan baik untuk nilai positif non-integer juga, dalam hal ini dapat disebut integral fraksi f. Jadi, secara heuristik, bagian utama dari (2), adalah urutan integral dari proses white noise (dalam pengertian biasa tidak ada) putih W (t). Dengan demikian fBM W (H) (t) dapat dianggap sebagai modifikasi penambahan stasioner dari integral fraksional W (t) dari proses white noise, di mana. 2 Konstruksi berjalan acak gerak Brown biasa Sangat menarik bahwa konstruksi BM biasa yang sangat alami dan mendasar sebagai batas jalan acak (RW) muncul relatif terlambat. Teori matematika BM dimulai sekitar tahun 1900 dengan karya Bachelier, Einstein, Smoluchowski, dan lain-lain. Konstruksi keberadaan pertama diberikan oleh Wiener 1921 dan Wiener 1923 yang diikuti oleh beberapa orang lain kemudian. Knight (1961) memperkenalkan konstruksi pertama dengan berjalan acak yang kemudian disederhanakan oleh Rvsz (1990). Penulis saat ini cukup beruntung untuk mendengar versi konstruksi ini secara langsung dari Pl Rvsz dalam sebuah seminar di Technical University of Budapest beberapa tahun sebelum penerbitan buku Rvsz pada tahun 1990 dan segera terpesona olehnya. Hasil dari upaya untuk lebih menyederhanakannya muncul di Szabados (1996). Mulai saat ini, ekspresi konstruksi RW akan selalu mengacu pada versi yang dibahas di edisi terakhir. Secara asimtotik setara dengan menerapkan Skorohod (1965) embedding untuk menemukan urutan diadik DYadik dari RW di BM, lihat Teorema 4 di Szabados (1996). Dengan demikian, ia memiliki beberapa kelebihan dan kekurangan dibandingkan dengan perkiraan terbaik yang dirayakan oleh BM dari jumlah parsial variabel acak dengan fungsi generator momen yang terbatas di sekitar titik asal. Yang terakhir ini diperoleh Komls 1975 dan Komls 1976. dan akan disingkat perkiraan KMT dalam sekuelnya. Keuntungan utama konstruksi RW adalah bahwa hal itu bersifat elementer, eksplisit, hanya menggunakan nilai masa lalu untuk membangun yang baru, mudah diterapkan dalam praktik, dan sangat sesuai untuk memperkirakan stochastic integral, lihat Teorema 6 di Szabados (1996) dan juga Szabados ( 1990). Ingatlah bahwa perkiraan KMT menghasilkan jumlah parsial (misalnya RW simetris sederhana) dari BM itu sendiri (atau dari urutan normal variabel acak normal) dengan urutan rumit transformasi kuantitatif bersyarat. Untuk membangun nilai baru yang digunakannya untuk keseluruhan urutan (nilai masa lalu dan masa depan juga). Di sisi lain, kelemahan utama konstruksi RW adalah memberikan tingkat konvergensi, sedangkan laju pendekatan KMT adalah yang terbaik, di mana N adalah jumlah langkah (terms) yang dipertimbangkan dalam RW. Dalam sekuel pertama, sifat utama dari konstruksi RW yang disebutkan di atas dirangkum. Kemudian konstruksi RW ini digunakan untuk menentukan aproksimasi yang serupa dengan (2) fBM dengan menggerakkan rata-rata RW. Konvergensi dan kesalahan pendekatan ini dibahas selanjutnya. Sebagai konsekuensi dari sifat perkiraan yang relatif lemah dari konstruksi RW, konvergensi ke fBM akan dibentuk hanya untuk, dan tingkat konvergensi juga tidak akan menjadi yang terbaik. Untuk mengimbangi hal ini, pada akhir makalah, kita membahas konvergensi dan sifat kesalahan dari konstruksi fBM serupa yang menggunakan pendekatan KMT sebagai gantinya, yang konvergen untuk semua H (0,1) dan yang tingkat konvergensinya dapat diperkirakan Yang terbaik bila mendekati fBM dengan menggerakkan rata-rata RWs. Konstruksi RW dari BM yang dirangkum di sini diambil dari Szabados (1996). Kita mulai dengan matriks tak terbatas dari i. i.d. Variabel acak X m (k), didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama. Setiap baris matriks ini adalah basis dari perkiraan BM dengan ukuran langkah diadik t t 2 2 m tepat waktu dan ukuran langkah yang sesuai x 2 m di ruang angkasa, yang diilustrasikan oleh tabel berikut. Langkah kedua dari konstruksi adalah memutar. Dari jalur acak independen (yaitu dari baris Tabel 1), kami ingin membuat yang bergantung sehingga setelah menyusut ukuran langkah temporal dan spasial, masing-masing RW berturut-turut menjadi penyempurnaan dari yang sebelumnya. Karena unit spasial akan dibagi dua pada setiap baris berturut-turut, kita menentukan waktu berhenti oleh T m (0) 0, dan untuk k 0, ini adalah waktu instans acak ketika RW mengunjungi bilangan bulat sama, berbeda dari yang sebelumnya. Setelah menyusut unit spasial menjadi setengahnya, modifikasi RW yang sesuai ini akan mengunjungi bilangan bulat yang sama dengan urutan yang sama seperti RW sebelumnya. (Ini adalah apa yang kita sebut penyempitan.) Kita akan beroperasi di sini pada setiap titik ruang sampel secara terpisah, yaitu kita memperbaiki jalur sampel masing-masing RW yang muncul pada Tabel 1. Dengan demikian setiap jembatan S m (T m (k 1)) S m (T m (k)) harus meniru langkah yang sesuai X m 1 (k 1) dari RW sebelumnya. Kami mendefinisikan RW yang dipelintir secara rekursif untuk m 1,2,3, menggunakan, dimulai dengan (n 0). Dengan setiap fixed m, kita lanjutkan untuk k 0,1,2, berturut-turut, dan untuk setiap n di jembatan yang sesuai, T m (k) lt n T m (k 1). Setiap jembatan dibalik jika tandanya berbeda dari yang diinginkan (Gambar 1. Gambar 2 dan Gambar 3): dan kemudian. Kemudian masing-masing (n 0) masih sederhana, simetrik RW lihat Lemma 1 di Szabados (1996). Selain itu, RW yang bengkok memiliki properti penyemprotan yang diinginkan: Langkah terakhir konstruksi RW menyusut. Jalur sampel dari (n 0) dapat diperluas ke fungsi kontinyu dengan interpolasi linier. Dengan cara ini seseorang mendapat (t 0) untuk real t. Kemudian kita definisikan pendekatan mth dari BM (lihat Gambar 4) dengan Bandingkan tiga langkah dari jalur sampel dari pendekatan pertama B 0 (t) dan bagian yang sesuai dari aproksimasi kedua B 1 (t) pada Gbr. 1 dan Gambar. 4. Kunjungan kedua bilangan bulat yang sama (berbeda dari yang sebelumnya) dalam urutan yang sama seperti yang pertama, jadi meniru yang pertama, tapi instants waktu yang sesuai berbeda secara umum: 2 2 T 1 (k) k. Demikian pula, (3) menyiratkan properti penyempitan umum namun ada jeda waktu pada umumnya. Ide dasar konstruksi RW BM adalah bahwa kelambatan waktu ini menjadi seragam kecil jika m menjadi cukup besar. Hal ini bisa dibuktikan dengan lemma berikut ini. Tabel 1. Pengaturan awal untuk konstruksi RW BM Tidak mengherankan, properti ini dan penyempurnaan (5) menyiratkan kedekatan seragam dari dua pendekatan berturut-turut BM jika m cukup besar. Lemma ini memastikan a. s. Konvergensi seragam perkiraan RW pada interval kompak dan jelas bahwa proses batas adalah proses Wiener (BM) dengan jalur sampel kontinu hampir pasti. Teorema 1 Pendekatan RW a. s. Secara seragam menyatu dengan proses Wiener pada interval yang kompak. Untuk setiap dan untuk m m 2 (C), kami memiliki Hasil yang dikutip di atas sesuai dengan Lemma 2. Lemma 3 dan Lemma 4 dan Teorema 3 di Szabados (1996). Kami menyebutkan bahwa pernyataan yang disajikan di sini diberikan dalam bentuk yang agak lebih tajam, namun bisa dibaca dengan mudah dari bukti dalam referensi di atas. 3 Pendekatan yang searah dengan gerakan Brown fraksional Konstruksi fBM yang hampir pasti konvergen diberikan oleh Carmona dan Coutin (1998) yang mewakili fBM sebagai fungsi linier dari proses Gaussian dimensi tak terbatas. Konstruksi lain yang patuh diberikan oleh Decreusefond dan stnel 1998 dan Decreusefond dan stnel 1999 yang konvergen dalam arti L 2. Konstruksi ini menggunakan perkiraan diskrit dari representasi rata-rata pergerakan fBM (2). Berdasarkan partisi deterministik sumbu waktu. Lebih tepatnya, (2) diganti oleh integral selama interval kompak 0, t, namun dengan kernel yang lebih rumit yang mengandung fungsi hipergeometrik juga. Perkiraan dari fBM yang dibahas di sini juga akan menjadi versi diskrit dari representasi rata-rata bergerak (2) fBM, namun partisi diadik diambil pada sumbu spasial BM dan oleh karena itu seseorang mendapatkan partisi acak pada sumbu waktu. Ini secara asimtotik adalah penyisipan tipe Skorohod dari RW bersarang ke dalam BM. Akibatnya, alih-alih integral, kita memiliki jumlah, dan BM disubstitusi oleh urutan penyulingan dan perkiraan dari perkiraan RW yang dibahas di bagian sebelumnya. Karena (2) mengandung BM dua sisi, kita memerlukan dua urutan berikut: satu untuk yang benar dan satu untuk setengah sumbu kiri. Mulai sekarang, kita akan menggunakan notasi berikut: m 0 adalah bilangan bulat, t 2 2 m. . Memperkenalkan kernel pendekatan mw dari fBM menurut definisinya adalah B m (H) (0) 0, dan untuk bilangan bulat positif k, di mana konvensi 0 H 12 0 diterapkan bahkan untuk eksponen negatif. Hal ini berguna untuk menulis B m (H) dalam bentuk lain dengan menerapkan versi diskrit integrasi oleh bagian-bagiannya. Dimulai dengan (8) dan menata ulangnya sesuai dengan B m (tr), seseorang memperoleh k1 bahwa Dengan cara ini kita mendapatkan versi diskrit dari mana yang diperoleh dari (2) menggunakan integrasi formal oleh beberapa bagian (bandingkan Lemma 5 di bawah). Untuk mendukung definisi di atas, kami menunjukkan bahwa B m (H) memiliki sifat yang sama dengan sifat karakterisasi fBM dalam bentuk diskrit. (A) B m (H) terpusat (jelas dari definisinya) dan memiliki kenaikan stasioner. Jika k 0 dan k adalah bilangan bulat non-negatif, maka (substitusi u r k 0) (b) B m (H) kira-kira sama dengan diri sendiri dalam pengertian berikut: Jika 2 2 m 0. Dimana m 0 adalah bilangan bulat, m 0 m. Maka untuk setiap k bilangan bulat non-negatif dimana ka juga merupakan bilangan bulat, Di sisi lain, Lemma 4 (dan Teorema 2) di bawah ini menunjukkan bahwa B m (H) dan B m 1 (H) (dan B mn H)) secara seragam dekat dengan probabilitas besar sewenang-wenang pada interval kompak jika m cukup besar (kapan). Bisa dibuktikan dengan cara yang sama seperti untuk j. Dimana j 0 adalah bilangan bulat acak, 2 2 n j 2 2 (n 1) dengan bilangan bulat n 0, distribusi dimensi hingga dapat dibuat semena-mena mendekati distribusi berdimensi hingga B m n (H) jika m cukup besar. Akibatnya, B m (H) sewenang-wenang mendekati kemiripan serupa untuk diad seorang j 2 2 m 0 jika m cukup besar. (C) Untuk setiap 0lt t 1 ltlt t n. Distribusi batas vektor seperti m adalah Gaussian. Dimana Fakta ini mengikuti dari Teorema 2 (berdasarkan Lemma 5) di bawah yang menyatakan bahwa proses B m (H) hampir pasti menyatu dengan proses Gaussian W (H) pada interval yang kompak. 4 Konvergensi aproksimasi ke fBM Pada awalnya akan ditunjukkan bahwa dua perkiraan berturut-turut fBM yang didefinisikan oleh (8). Atau ekuivalen dengan (9). Adalah seragam dekat jika m cukup besar, seandainya. Rupanya, perkiraan RW di atas BM tidak cukup baik untuk memiliki konvergensi. Saat membuktikan konvergensi, ketidaksetaraan deviasi yang besar mirip dengan Lemma 1 akan memainkan peran penting. Jika X 1, X 2, adalah urutan i. i.d. Variabel acak, dan S r r r r Dimana tidak semuanya nol dan, kemudian (lihat, misalnya Stroock, 1993, hal 33). Penjumlahan di atas mungkin mencakup baik banyak atau banyak istilah. Sebagai konsekuensi, jika S 1, S 2 ,, SN adalah jumlah yang sewenang-wenang dari jenis di atas, kita bisa mendapatkan analog Lemma berikut ini. Untuk setiap C gt1 dan N 1, maka dengan menggunakan (19) satu mendapatkan hasilnya dengan Kecuali satu set probabilitas paling banyak 2 (K 2 2 m) 1 C. Dimana dan C gt1 adalah sewenang-wenang. (D) Maksimum U m, k. Kita membagi garis setengah menjadi interval panjang L. Dimana L 4 K. Untuk kepastian, pilih L 4 K. Terlepas dari ini, bagian ini akan serupa dengan bagian (b). Dalam sekuel kita menggunakan konvensi bahwa ketika batas bawah penjumlahan adalah bilangan real x. Penjumlahan dimulai pada x, dan sama, jika batas atas adalah y. Penjumlahan berakhir pada y. Dengan (17), Lemma 3 memberikan batas atas untuk perbedaan maksimal antara dua perkiraan berturut-turut BM jika j 1 adalah nilai tetap sewenang-wenang: kecuali satu set probabilitas paling banyak 3 (jL 2 2 m) 1 C. Dimana C gt1 adalah sewenang-wenang dan m m 1 (C). Ini berarti untuk setiap C3 dan mm 1 (C) bahwa ketidaksetaraan di atas (24) berlaku serentak untuk semua j 1,2,3, kecuali satu set probabilitas paling banyak Untuk faktor utama lainnya pada (23) binomial Seri diterapkan seperti di atas, dengan, dan v 1: Dalam kasus kedua bila metode di atas ternyata memberikan konvergensi di sini (seperti pada bagian (b)) hanya bila: untuk C3 dan mm 1 (C) kecuali untuk Satu set probabilitas paling banyak (K 2 2 m) 1 C. Sekarang kita bisa menggabungkan hasil bagian (a) (d), lihat (18). (20). (21). (22). (27) dan (28). Untuk mendapatkan pernyataan lemma. Ingat bahwa tingkat konvergensi pada bagian (a) dan (c) lebih cepat daripada yang ada pada bagian (b) dan (d). Terutama, amati bahwa ada faktor m dalam (b) dan (d) yang memiliki pasangan m 12 dalam (a) dan (c). Karena dalam pernyataan lemma ini kita hanya mengganti faktor konvergen yang lebih cepat oleh konvergen yang lebih lambat, pengganda konstan pada (a) dan (c) dapat diabaikan jika m cukup besar. Sederhana untuk memperpanjang rumus (9) dari pendekatan m B m (H) fBM terhadap argumen nyata t dengan interpolasi linier, seperti pada kasus pendekatan m B t (lihat BM biasa, mis. Di Szabados (1996). Jadi, m 0 dan k 0 adalah bilangan bulat, 0,1, dan tentukan. Kemudian, parameter parameter kontinyu yang dihasilkan dari fBM B m (H) (t) (t 0) memiliki jalur sampel linier kontinyu dan piecewise. Dengan definisi ini kita siap untuk menyatakan hasil utama dari makalah ini. Dimana (H, K) dan sama seperti di Lemma 4. (Kasus dijelaskan oleh Teorema 1.) kecuali untuk kejadian probabilitas paling banyak 8 (K 2 2 m) 1 C. Karena kedua B m 1 (H) (t) dan B m (H) (t) memiliki jalur sampel linier berganda, perbedaan maksimalnya harus terjadi pada simpul jalur sampel. Misalkan M m menunjukkan kenaikan maksimal B m (H) antara pasangan titik t k, t k 1 dalam 0, K: kecuali untuk kejadian probabilitas paling banyak 2 (K 2 2 m) 1 C. Lih. (31) di bawah ini. Jalur contoh B m 1 (H) (t) membuat empat langkah pada setiap interval t k, t k 1. Untuk menghitung deviasi maksimal dari D m, cukup untuk memperkirakan perubahan antara titik tengah dan titik akhir interval tersebut, pada dua langkah dari titik akhir kiri dan kanan: kecuali untuk kejadian probabilitas paling banyak 2 (K 2 2 (M 1)) 1 C. Oleh karena itu kecuali untuk kejadian probabilitas paling banyak. Penjelasan di atas menunjukkan bahwa pada saat yang sama ini memberi batas atas yang kita cari kecuali untuk kejadian probabilitas paling banyak (82 32 C) (K 2 2 m) 1 C. Kemudian argumen serupa dapat digunakan seperti dalam bukti Lemma 4. lihat, mis. Bagian (a) di sana: Dengan demikian mengambil N K 2 2 m dan C gt1 dalam (12). Dan menggunakan (19) juga, seseorang memperoleh m1 bahwa dengan pengecualian satu set probabilitas paling banyak 2 (K 2 2 m) 1 C. Dimana K gt0 dan C gt1 adalah sewenang-wenang. Kecuali untuk kejadian probabilitas paling banyak 8.125 (K 2 2 m) 1 C di mana (H, K) dan (H) sama seperti di Lemma 4. Ingatlah bahwa tingkat konvergensi pada (31). Seperti di bagian (a) dan (c) bukti Lemma 4. lebih cepat daripada yang ada di bagian (b) dan (d) dari bukti itu. Selain pengganda konstan, hasil (31) memiliki bentuk yang sama dengan hasil (a) dan (c) di sana. Karena dalam pernyataan teorema ini kita hanya mengganti faktor konvergen yang lebih cepat oleh konvergen yang lebih lambat, pengganda konstan (31) dapat diabaikan jika m cukup besar. Inilah sebabnya mengapa (H, K) yang didefinisikan oleh Lemma 4 juga cocok di sini. Oleh karena itu, seseorang bisa mendapatkan bahwa Dengan lemma BorelCantelli ini menyiratkan bahwa dengan probabilitas 1, jalur sampel B m (H) (t) konvergen secara seragam ke sebuah proses W (H) (t) pada interval kompak 0, K. Kemudian W (H) (t) memiliki jalur sampel kontinyu, dan mewarisi sifat-sifat B m (H) (t) yang dijelaskan pada Bagian 3. Ini adalah proses yang berpusat pada diri sendiri dengan kenaikan bertahap. Seperti yang ditunjukkan Lemma 5 di bawah, proses yang didefinisikan adalah Gaussian. Oleh karena itu, W (H) (t) adalah fBM dan dengan (33) tingkat konvergensi dari aproksimasi adalah yang dinyatakan dalam teorema. The aim of the next lemma to show that integration by parts is essentially valid for (2) representing W ( H ) ( t ), resulting in a formula similar to (10). Then it follows that can be stochastically arbitrarily well approximated by a linear transform of the Gaussian process , so it is also Gaussian. After the second term on the right-hand side of (37) we turn to the third term. Take now any (0, 0 ). Since h ( s , t ) has continuous partial derivative w. r.t. s on the intervals 1 , and , t and by Theorem 1. B m a. s. uniformly converges to the Wiener process W on these intervals, comparing (35) and (36) shows that with this there exists an m such that Theorem 1 also implies that m can be chosen so that for the fourth term in (37) one similarly has Finally, Theorem 2 (or, with a modified construction, Theorem 3 below) guarantees that m can be chosen so that the first term in (37) satisfies the same inequality: The last four formulae together prove the lemma. 5 Improved construction using the KMT approximation Parts (b) and (d) of the proof of Lemma 4 gave worse rate of convergence than parts (a) and (c), in which the rates can be conjectured to be best possible. The reason for this is clearly the relatively weaker convergence rate of the RW approximation of ordinary BM, that was used in parts (b) and (d), but not in parts (a) and (c). It is also clear from there that using the best possible KMT approximation instead would eliminate this weakness and would give hopefully the best possible rate here too. The price one has to pay for this is the intricate and future-dependent procedure by which the KMT method constructs suitable approximating RWs from BM. The result we need from Komls 1975 and Komls 1976 is as follows. Suppose that one wants to define an i. i.d. sequence X 1 , X 2 , of random variables with a given distribution so that the partial sums are as close to BM as possible. Assume that E ( X k )0, Var ( X k )1 and the moment generating function E (e uX k )lt for . Let S ( k ) X 1 X k . k 1 be the partial sums. If BM W ( t ) ( t 0) is given, then for any n 1 there exists a sequence of conditional quantile transformations applied to W (1), W (2),, W ( n ) so that one obtains the desired partial sums S (1), S (2),, S ( n ) and the difference between the two sequences is the smallest possible: for any x gt0, where C 0 , K 0 , are positive constants that may depend on the distribution of X k . but not on n or x . Moreover, can be made arbitrarily large by choosing a large enough C 0 . Taking here one obtains where n 1 is arbitrary. Fix an integer m 0, and introduce the same notations as in previous sections: . Then multiply the inner inequality in (42) by 2 m and use self-similarity (1) of BM (with ) to obtain a shrunken RW (0 k K 2 2 m ) from the corresponding dyadic values W ( t k ) (0 k K 2 2 m ) of BM by a sequence of conditional quantile transformations so that with the exception of a set of probability smaller than K 0 ( K 2 2 m ) C 0 . for any m 1 and K gt0. Here (19) was used too. Then (43) implies for the difference of two consecutive approximations that for any m 1 and K gt0. This is exactly what we need to improve the rates of convergence in parts (b) and (d) of Lemma 4 . Substitute these KMT approximations into definition (8) or (9) of B m ( H ) ( t k ). This way one can obtain faster converging approximations of fBM. Then everything above in 3 and 4 are still valid, except that one can use the improved formula (44) instead of Lemma 3 at parts (b) and (d) in the proof of Lemma 4. This way, instead of (21) one gets for any m 1, except for a set of probability smaller than 2 K 0 ( K 2 2 m ) C 0 . Also by (44). instead of (24) and (25) one has the improved inequalities: with the exception of a set of probability smaller than 2 K 0 ( jL 2 2 m ) C 0 . where m 1. If C 0 is chosen large enough so that C 0 2, then (46) holds simultaneously for all j 1,2,3, except for a set of probability smaller than (Remember that we chose L 4 K in part (d) of the proof of Lemma 4 .) Then using this in part (d) of Lemma 4. instead of (26) one needs the estimate Then instead of (27) and (28). the improved results are as follows. First, in the case one has for any m 1 and C 0 large enough so that C 0 2, except for a set of probability smaller than given by (47). Now in the case it follows that for any m 1 and C 0 large enough so that C 0 2, except for a set of probability smaller than given by (47) . As a result, there is convergence for any H (0,1). Since the KMT approximation itself has best possible rate for approximating ordinary BM by RW, it can be conjectured that the resulting convergence rates in the next lemma and theorem are also best possible (apart from constant multipliers) for approximating fBM by moving averages of a RW. Proof Combine the results of parts (a) and (c) in the proof of Lemma 4 and the improved inequalities above, that is, apply (18). (20). (45). (22) and (48). and (49). Here too, we simply replace the faster converging factors by the slower converging ones, but the constant multipliers of faster converging terms cannot be ignored, since the lemma is stated for any m 1. Now we can extend the improved approximations of fBM to real arguments by linear interpolation, in the same way as we did with the original approximations, see (29). This way we get continuous parameter approximations ( t 0) for m 0,1,2,, with continuous, piecewise linear sample paths. Now we can state the second main result of this paper. where and are the same as in Lemma 6. ( In other words . in the definition of in Lemma 6 the constant multiplier 10 has to be changed to 20 here .) The constants are defined by the KMT approximation (41) with C 0 chosen so large that C 0 2. The case is described by (43). Proof The proof can follow the line of the proof of Theorem 2 with one exception: the constant multipliers in (31) and consequently in (30) cannot be ignored here. This is why the multiplier of Lemma 6 had to be modified in the statement of the theorem. It can be conjectured that the best rate of approximation of fBM by moving averages of simple RWs is , where N is the number of points considered. Though it seems quite possible that definition of above, see (8) with the KMT approximations , supplies this rate of convergence for any H (0,1), but in Theorem 3 we were able to prove this rate only when . A possible explanation could be that in parts (b) and (d) of Lemma 4 we separated the maxima of the kernel and the integrator parts. As a result, the convergence rate we were able to prove when is the same that the original KMT approximation (43) gives for ordinary BM, where N K 2 2 m . though in this case the sample paths of fBM are smoother than that of BM. (See, e. g. Decreusefond and stnel, 1998 .) On the other hand, the obtained convergence rate is worse than this, but still thought to be the best possible, , when , which heuristically can be explained by the more zigzagged sample paths of fBM in this case. References Carmona and Coutin 1998 P. Carmona. L. Coutin Fractional Brownian motion and the Markov property Elect. Comm. Probab. Volume 3. 1998. pp. 95107 Decreusefond and stnel 1998 Decreusefond, L. stnel, A. S. 1998. Fractional Brownian Motion: Theory and Applications. Systmes Diffrentiels Fractionnaires, ESAIM Proceedings 5, Paris, pp. 7586. Decreusefond and stnel 1999 L. Decreusefond. A. S. stnel Stochastic analysis of the fractional Brownian motion Potential Anal. Volume 10. 1999. pp. 174214 Feller 1966 W. Feller An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. II. 1966. Wiley, New York Knight 1961 F. B. Knight On the random walk and Brownian motion Trans. Amer. Matematika. Soc. Volume 103. 1961. pp. 218228 Kolmogorov 1940 A. N. Kolmogorov Wienersche Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertschen Raum Doklady A. N. S. S.S. R. Volume 26. 1940. pp. 115118 Komls 1975 J. Komls. P. Major. G. Tusndy An approximation of partial sums of independent RVs, and the sample DF. I Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete. Volume 32. 1975. pp. 111131 Komls 1976 J. Komls. P. Major. G. Tusndy An approximation of partial sums of independent RVs, and the sample DF. II Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete. Volume 34. 1976. pp. 3358 Mandelbrot and van Ness 1968 B. B. Mandelbrot. J. W. van Ness Fractional Brownian motions, fractional noises and applications SIAM Rev. Volume 10. 1968. pp. 422437 Rvsz 1990 P. Rvsz Random Walk in Random and Non-Random Environments. 1990. World Scientific, Singapore Samko 1993 S. G. Samko. A. A. Kilbas. O. I. Marichev Fractional Integrals and Derivatives. 1993. Gordon amp Breach Science, Yverdon Skorohod 1965 A. V. Skorohod Studies in the Theory of Random Processes. 1965. Addison-Wesley, Reading, MA Stroock 1993 D. W. Stroock Probability Theory, an Analytic View. 1993. Cambridge University Press, Cambridge Szabados 1990 Szabados, T. 1990. A discrete Its formula. Coll. Matematika. Soc. Jnos Bolyai 57. Limit Theorems in Probability and Statistics, Pcs (Hungary) 1989. North-Holland, Amsterdam, pp. 491502. Szabados 1996 T. Szabados An elementary introduction to the Wiener process and stochastic integrals Studia Sci. Matematika. Hung. Volume 31. 1996. pp. 249297 Wiener 1921 N. Wiener The average of an analytical functional and the Brownian movement Proc. Nat. Acad. Sci. U. S.A. Volume 7. 1921. pp. 294298 Wiener 1923 N. Wiener Differential space J. Math. Fisik. Volume 2. 1923. pp. 132174 Copyright 2001 Elsevier Science B. V. All rights reserved. Citing articles ( )