Optimal trading strategy dengan optimal horizon pdf

Strategi perdagangan yang optimal bagi investor: kasus informasi parsial Peter Lakner Departemen Statistik dan Riset Operasi New York University, 44 W. 4th St. New York, NY 10012, USA Diterima pada tanggal 22 Mei 1997. Direvisi 8 April 1998. Diterima 10 April 1998. Tersedia secara online 22 November 1998. Kami akan membahas masalah optimasi investor yang ingin memaksimalkan utilitas yang diharapkan dari kekayaan terminal. Kebaruan dari makalah ini adalah bahwa proses drift dan gerak Brown yang mengemudi yang muncul dalam persamaan diferensial stokastik untuk harga keamanan tidak dianggap dapat diamati oleh investor di pasar. Investor mengamati harga keamanan dan tingkat suku bunga saja. Proses drift akan dimodelkan dengan proses Gaussian, yang dalam kasus khusus menjadi proses OrnsteinUhlenbeck yang berarti multi dimensi. Hasil utama dari makalah ini adalah representasi eksplisit untuk strategi trading yang optimal untuk berbagai fungsi utilitas. Fungsi Utilitas Harga keamanan dan filtrasinya Strategi investasi Optimalisasi Operator gradien Formula Clarks 1 Pendahuluan Dalam tulisan ini kami memecahkan masalah maksimalisasi utilitas dari investor yang ingin memaksimalkan utilitas yang diharapkan dari nilai akhir portofolio portofolio pada interval waktu yang ditentukan 0, T . Kami berasumsi bahwa ada sekuritas berisiko N (S 1 (t), S N (t)) yang tersedia di pasar yang dinamikanya diberikan oleh Persamaan. (2.1). Dan ada suku bunga tetap r. Masalah ini telah banyak dipelajari, misalnya oleh Cox dan Huang (1989). Cox dkk. (1985). Duffie dan Zame (1989). Heand Pearson (1991). Karatzas dkk. 1991. Karatzas dkk. 1987 atau Ocone dan Karatzas (1991). Fitur khusus dari makalah ini adalah bahwa kita tidak akan berasumsi bahwa investor dapat mengamati proses drift t dan gerakan Brown muncul dalam persamaan diferensial stokastik untuk harga keamanan. Kita akan menyebut situasi ini kasus informasi parsial untuk membedakannya dari kasus informasi lengkap yang dipelajari dalam makalah di atas. Jelas, lebih realistis untuk mengasumsikan bahwa investor hanya memiliki sebagian informasi karena harga dan tingkat suku bunga diterbitkan dan tersedia untuk umum, namun hanyut dan jalur gerakan Brown hanyalah alat matematika untuk pembuatan model, namun pastinya tidak dapat diamati. Fakta bahwa investor hanya memiliki sebagian informasi akan dimodelkan dengan mewajibkan strategi perdagangan disesuaikan dengan filtrasi yang dihasilkan oleh harga keamanan, yang lebih kecil dari pada penyaringan aslinya. Masalah informasi parsial telah dibahas di Lakner (1995) dimana formula disajikan untuk tingkat optimal kekayaan terminal, dan adanya strategi perdagangan yang sesuai telah ditunjukkan. Tujuan utama makalah ini adalah untuk mengetahui formula eksplisit untuk strategi perdagangan yang optimal. Proses drift akan menjadi proses Gaussian yang dimodelkan oleh sistem persamaan diferensial stokastik linier dimana gerak Brown yang mengemudi independen dari yang muncul dalam persamaan harga keamanan, dan dalam kasus khusus menjadi proses OrnsteinUhlenbeck multidimensional dengan mean-reverting melayang. Rumus strategi trading yang optimal akan melibatkan proses m t yang merupakan harapan bersyarat dari drift t mengingat informasi yang ada. Dua contoh spesifik akan dikerjakan, satu untuk logaritmik dan yang lainnya untuk fungsi utilitas daya. Dengan fungsi utilitas logaritmik, strategi perdagangan yang optimal dapat ditulis dalam bentuk umpan balik yang dapat diturunkan secara formal dari formula yang sesuai dalam kasus informasi lengkap dengan mengganti m for. Namun, akan ditunjukkan bahwa dengan fungsi utilitas listrik substitusi formal m karena dalam bentuk umpan balik dari strategi perdagangan optimal dalam kasus informasi lengkap tidak menghasilkan rumus yang benar untuk strategi perdagangan optimal dalam kasus informasi parsial. (Lihat juga Browne dan Whitt (1996) untuk contoh serupa dalam model waktu diskrit.) Seseorang dapat menemukan informasi tambahan terkait di Gennote (1986). Dothan dan Feldman (1986). Detemple (1991). Dan disertasinya Honda (1998). Perhitungan strategi perdagangan yang optimal pada dasarnya adalah menemukan integrand dalam representasi integral stokastik dari kekayaan terminal optimal. Teknik yang digunakan disini melibatkan operator gradien D. Seperti di Ocone dan Karatzas (1991). Dimana strategi trading yang optimal berdasarkan informasi lengkap dihitung dengan menggunakan teknik yang sama. Kami menggunakan kertas itu sebagai referensi dasar kami untuk informasi tentang operator gradien. Strategi perdagangan yang optimal telah dilakukan untuk kasus Bayesean oleh Browne dan Whitt (1996) untuk utilitas logaritmik, dan oleh Lakner (1994) untuk fungsi utilitas umum. Kata Bayesean berarti di sini bahwa itu adalah variabel acak yang tidak teramati dengan distribusi sebelumnya yang diketahui. Organisasi dan konten dasar dari makalah ini adalah sebagai berikut. Pada Bagian 2 kami menggambarkan model pasar dan mengingat rumus umum untuk kekayaan terminal optimal. Ini akan melibatkan suatu proses yang merupakan harapan bersyarat dari turunan RadonNikodim dari ukuran martingale sehubungan dengan ukuran probabilitas asli. Pada Bagian 3 kita menunjukkan bahwa memenuhi persamaan diferensial stokastik yang menghasilkan representasi eksplisit untuk t. Ini sekarang akan melibatkan ekspektasi kondisional yang disebutkan di atas dari t drift t diberikan informasi yang tersedia. Pada Bagian 4 kita menentukan dinamika t yang memungkinkan kita untuk menghitung m t menggunakan filter KalmanBucy yang terkenal. Selanjutnya teorema utama dinyatakan, yang menyajikan formula kami untuk strategi trading yang optimal. Rumus ini melibatkan proses yang dijelaskan sebelumnya dan m dan fungsi kovariansi kondisional deterministik dari t. Kami mengkhususkan formula untuk strategi trading optimal untuk logaritmik dan fungsi utilitas daya. Pada Bagian 5 bukti teorema utama akan dipaparkan. Buktinya sendiri akan dipecah menjadi beberapa lemmas. Lampiran berisi bukti lemma dan proposisi pada Bagian 4. 2 Model Membiarkan menjadi ruang probabilitas disaring lengkap dengan fixed time T gt0. Ada sekuritas berisiko N pada ruang ini dengan proses harga N-dimensi (tanda bintang menandakan transposisi). Dinamika proses ini ditentukan oleh sistem persamaan diferensial stokastik. Dalam persamaan di atas, drift adalah proses N-dimensi yang disesuaikan, terukur sehingga di mana norma Euclidean. Prosesnya adalah gerakan Brownik N-dimensi, dan (ij) i, j 1, N adalah matriks nonsingular dari konstanta. Misalkan r adalah suku bunga deterministik konstan. Kita mengira bahwa harga awal adalah konstanta positif deterministik. Membiarkan menjadi filtrasi yang diperbesar yang dihasilkan oleh proses harga S. Dalam makalah ini kita akan mengasumsikan bahwa hanya proses yang teruji yang dapat diamati, sehingga agen di pasar ini tidak mengamati gerak Brown w (1) dan proses drift. Tingkat suku bunga konstan r. Vektor harga awal S 0 dan matriks volatilitas diketahui oleh semua agen yang bertindak di pasar. Kita mendefinisikan martingale lokal positif dengan persamaan dimana vektor N-dimensi dengan semua entri sama dengan 1. (2.3) dan (2.4) memiliki solusi unik Asumsi 2.1. Kita akan berasumsi bahwa Z adalah martingale. Selanjutnya kita akan mendefinisikan strategi perdagangan untuk agen yang bertindak di pasar ini. Misalkan saya (t) adalah jumlah uang yang diinvestasikan dalam keamanan saya pada waktu t. Definisi 2.2. Strategi trading adalah proses N-dimensi, terukur, dan teruji sehingga Kami tekankan bahwa strategi perdagangan harus dipadukan, sehingga investor hanya memperhatikan harga keamanan saja, bukan drift atau gerakan Brown w (1). Biarkan X menjadi kekayaan pada saat t seorang agen yang mengikuti strategi trading. Kekayaan awal X 0 x 0 adalah konstanta deterministik. Proses diasumsikan berevolusi sesuai dengan aturan dinamika Itos yang menyiratkan bahwa kekayaan diskon e rt X t memiliki bentuk oleh Teorema Girsanov dan Asumsi 2.1, proses N-dimensi adalah gerakan Brown di bawah ukuran probabilitas P dimana Kami menunjukkan oleh Operator harapan sesuai dengan ukuran P. Definisi 2.3. Strategi trading disebut admissible jika X t 0, a. s. T 0, T. Definisi 2.4. Sebuah fungsi disebut fungsi utilitas jika terus menerus, ketat meningkat, sangat cekung pada domainnya, terdiferensialkan secara kontinu pada (0,) dengan fungsi turunan U () yang memenuhi hubungan Masalah pengoptimalan kami adalah memaksimalkan utilitas yang diharapkan dari kekayaan terminal, Yaitu, atas semua strategi perdagangan yang dapat diterima. Kita mendefinisikan proses kembali N - dimensional sehingga kita memiliki dekomposisi berikut untuk proses pengembalian: Hubungan (2.12) dan (2.14) menyiratkan bahwa S. R. Dan masing-masing menghasilkan filtrasi yang sama. Demikian terus menerus (Karatzas dan Shreve, 1988. Corollary 2.7.8). Biarkan menjadi proyeksi opsional dari P - martingale Z, jadi Kami catat bahwa itu adalah martingale sehubungan dengan, dan untuk setiap variabel acak yang terukur V. Variabel acak terukur Y. Dan - Variabel acak yang terukur W dengan 0 t u T Identitas terakhir menyiratkan bahwa 1 adalah sebuah - martingale. Karena dihasilkan oleh w. Jadi 1. dan juga . Harus terus menerus Biarkan fungsi menjadi fungsi invers pseudo dari derivatif turunan ketat dari fungsi utilitas Fungsi yang didefinisikan di atas saya benar-benar menjadi fungsi terbalik dari U jika lim x 0 U (x). Namun, kami tidak membuat asumsi ini. Kita ingat teorema berikut dari Lakner (1995). Teorema 2.5. Misalkan untuk setiap konstan x (0,) Maka tingkat optimal kekayaan terminal adalah dimana y konstan didefinisikan secara unik oleh proses kekayaan optimal X dan strategi perdagangan secara implisit ditentukan oleh 3 representasi eksplisit dari tingkat kekayaan terminal yang optimal Formula ( 2.21) untuk tingkat optimal kekayaan terminal melibatkan variabel acak T dan kita akan menemukan cara untuk menghitungnya di bagian ini. Kami mengenalkan matriks mean kondisional dan matriks kovariansi t dengan pemahaman bahwa proses m dan merupakan versi terukur dari harapan kondisional yang sesuai. Hasil untuk representasi t akan dirumuskan dalam teorema berikut. Dan proses N - dimensional m kontinyu. Kemudian proses 1 memenuhi persamaan diferensial stokastik dan kita memiliki representasi dan ungkapan terakhir ini hampir pasti terbatas karena kontinuitas m dan. Sekarang (3.7) dan (3.8) menyiratkan bahwa Dengan Persamaan. (2,17) sisi kiri identitas terakhir ini sama dengan 1 t. Dan oleh (2,17) dan (3,1) sisi kanan sama dengan begitu Persamaan. (3.4) berikut. Identitas (3,5) adalah konsekuensi yang jelas dari Pers. (3.4). Dengan demikian bukti kami sudah lengkap. Sekarang Pers. (3.5) merupakan formula untuk. Tapi masih belum cukup eksplisit karena melibatkan proses m dimana kita masih belum memiliki representasi yang dapat dihitung. Kita bisa mengatakan lebih banyak tentang m hanya jika kita menentukan dinamika arus. Dan ini akan dilakukan di bagian selanjutnya. 4 Rumus eksplisit untuk strategi perdagangan yang optimal Untuk sisa dari makalah ini kita akan mengasumsikan bahwa proses drift N-dimensi adalah solusi dari persamaan diferensial stokastik dimana w (2) adalah gerakan Brownik N-dimensi pada, independen dari W (1) di bawah P. Dan dikenal matriks bilangan real, dan merupakan vektor N-dimensi yang diketahui bilangan real. Kita akan mengasumsikan bahwa itu dapat dibalik, dan bahwa 0 mengikuti distribusi normal N-dimensi dengan vektor mean m 0 dan matriks kovarians 0. Vektor m 0 dan matriks 0 diasumsikan diketahui oleh semua agen di pasaran. Kami mencatat bahwa jika adalah matriks diagonal dengan entri positif diagonal, maka akan menjadi proses OrnsteinUhlenbeck N-dimensi dengan pergeseran rata-rata. Kita juga akan mengasumsikan bahwa tr (0) dan kecil. Agar lebih teliti, kita mengasumsikan bahwa Asumsi (4.2) secara kasar berarti bahwa varians komponen drift t kecil dibandingkan varians komponen dari proses pengembalian R. Yang didefinisikan dalam (2.12) dan (2.13) (lihat (A.5) dalam lampiran untuk matriks kovariansi t). Kami mencatat bahwa jika matriks simetrik positif semidefinite maka K N karena dalam kasus ini kita dapat menulis dalam bentuk, di mana T adalah matriks ortogonal dan diagonal dengan entri non-negatif 1 ,, N diagonal. Sekarang menggunakan aljabar matriks elementer kita bisa menghitung Lemma 4.1. Dengan proses drift yang disebutkan di atas. Asumsi 2.1. Puas Selanjutnya, Kami menunda bukti ke lampiran. Kita dapat menggunakan proses pengembalian R (2.12) sebagai proses pengamatan karena menghasilkan filtrasi yang sama seperti proses harga S. Jika kita melakukannya maka kita berada dalam kerangka filter KalmanBucy klasik. Teorema 10.3) bahwa m adalah solusi unik dari sistem linear persamaan diferensial stokastik (4.6), dan merupakan solusi unik dari persamaan Riccati deterministik (4.7) dengan initial Kondisi (m 0, 0). Ini mengikuti (dan juga terkenal) bahwa matriks kovarians bersyarat (t) bersifat deterministik. Dalam kasus ketika N gt1 kita tidak memiliki formula eksplisit untuk. Namun, dalam hal kita bisa memecahkan untuk mean bersyarat m dengan cara berikut. Misalkan solusi mendasar dari sistem deterministik adalah fungsi N N - matrix yang memuaskan (4.8) dengan kondisi awal bahwa (0) adalah matriks identitas N N. Kemudian m t ditentukan dalam bentuk dan sebagai Keterangan 4.2. Diketahui bahwa jika N 1 maka persamaan Riccati (4.7) memiliki solusi eksplisit. Pers. (4.7) menjadi Strategi perdagangan optimal untuk fungsi utilitas ini berdasarkan informasi lengkap adalah (Ocone dan Karatzas, 1991. formula (4.22)), dan rumus kami (4.31) untuk kasus informasi parsial tidak dapat diturunkan dari sini dengan mengganti m untuk Karena istilah non-zero tambahan G t di Pers. (4.31). Seseorang mungkin menemukan kendala lt0 di Pers. (4,28) terlalu membatasi. Masalah dengan fungsi utilitas listrik dengan positif adalah tidak memuaskan (4.18) dan (4.19). Dalam proposisi selanjutnya kita mengatasi masalah ini dengan memperkuat Persamaan. (4.2). Dan K diberikan dalam Pers. (4.4). Kemudian untuk fungsi utilitas listrik dari form (4.28) dengan 0lt. Rumus (4.31) dan (4.32) masih menghasilkan strategi trading yang optimal. Kami menunda bukti proposisi ini pada lampiran. Sekarang kita tahu bahwa (4.31) dan (4.32) memberikan strategi perdagangan yang optimal untuk semua (, untuk setiap 0lt lt1 asalkan kondisi (4.33) terpenuhi. Marilah kita perhatikan bahwa jika kemudian di mana saya 1 (x) 1 x. Fungsi invers dari U 1, sehingga seseorang dapat secara intuitif berharap bahwa strategi trading optimal untuk fungsi utilitas U 2 menyatu dengan strategi optimal untuk utilitas logaritmik U 1. Ini memang terjadi Kita hanya perlu menunjukkan bahwa harapan bersyarat Dalam definisi G t konvergen menjadi nol hampir pasti. Namun, ini mengikuti dari Teorema Konvergensi yang Didominasi untuk harapan bersyarat, karena jika 1,0 maka ini berarti bahwa yang memiliki ekspektasi terbatas menurut P oleh Holders inequality and Proposition 4.1, dan ( 4.35) sekarang mengikuti 5 Bukti Teorema 4.3 Teknik utama dalam bukti ini adalah penggunaan operator gradien D yang bekerja pada subset dari kelas fungsi yang disebut D 1.1 Untuk definisi yang tepat dari ruang D 1, 1 dan operator D kita lihat Oco Ne dan Karatzas (1991) dan Shigekawa (1980). Kita akan menggunakan versi umum formula Clarks (Karatzas et al 1991) yang menjamin bahwa untuk setiap variabel acak A D 1.1 kita memiliki representasi stokastik integral Untuk variabel acak N-dimensi A (D 1,1) N. Kita mendefinisikan DA sebagai matriks (dimensi N) - dimensional dengan komponen Lemma berikut menjelaskan kondisi di mana operator gradien D dan integral Lebesgue biasa dapat ditukar. Selanjutnya. Kami kira yang kiri (atau kanan) terus menerus untuk hampir setiap. Lalu dan demi singkatnya kita menghilangkan buktinya. Kami melemparkan mean kondisional m dari Pers. (4.9) dalam bentuk dimana () adalah solusi mendasar dari sistem (4.8). Bukti. Identitas (5.13) berikut dari Lemmas 5.1 dan 5.3. Identitas (5.14) mengikuti Proposisi 2.3 dari Ocone dan Karatzas (1991) begitu kita memverifikasi bahwa prosesnya adalah anggota kelas yang didefinisikan dalam makalah itu (hlm. 190, 191). Kondisi (i) definisi itu diterjemahkan ke Pers. (5.10). Kondisi (ii) mengikuti kontinuitas yang tepat dari (lihat (5.3) dan (5.11)). Kondisi (iii) berikut dari (5.4) dan (5.11). Dan Pers. (5.3). Lemma 5.5. Kami memiliki hubungan sebagai berikut: Bukti. Sisi kiri dari ketidaksetaraan pertama dapat ditulis sebagai dan oleh Pers. (5.4) cukup untuk menunjukkan bahwa Namun, ini mengikuti dari Pers. (5.3) dan beberapa perhitungan dasar yang melibatkan momen keempat dari distribusi normal. Ketidaksetaraan kedua di Pers. (5.15) adalah konsekuensi yang mudah dari (5.13). (5.3) dan (5.4) dan beberapa perhitungan langsung. Kita sudah tahu dari Lemma 5.4 bahwa V 1 dan V 2 ada di D 1,1. Jadi kita harus menunjukkan hanya kondisi Lemma A1 dari Ocone dan Karatzas (1991). Yang dalam kasus kami menjadi Ketidaksetaraan pertama mengikuti Lemma 4.1, dan yang kedua adalah konsekuensi dari ketidaksetaraan Pemegang dan Jensens, Lemma 4.1, dan Pers. (5.15). Sekarang kita siap untuk membuktikan Teorema 4.3. Kita akan menunjukkan bahwa untuk setiap x (0,) Kedua hubungan mengikuti dari Ocone dan Karatzas, Lemma A1, asalkan kondisinya terpenuhi. Ketidaksetaraan kedua adalah konsekuensi asumsi (4.18) dan Lemma 4.1. Sisi kiri dari ketidaksetaraan pertama di Pers. (5.20) menjadi (5.17). (5.14). (5.13) dan (4.19) Kedua istilah dalam ungkapan terakhir dibatasi oleh Pers. (5.15). Pemegang dan ketidaksetaraan Jensens, dan Lemma 4.1. Kita sekarang bisa mendapatkan rumus (4.20) untuk strategi trading optimal dengan aljabar langsung, menyusun (2.23). (5.1). (5.19). (5.17). (5.3) dan (4.17). Yang melengkapi bukti teorema. Ucapan Terima Kasih Penulis berhutang budi kepada Stanley R. Pliska untuk diskusi yang bermanfaat mengenai pokok bahasan ini. Terima kasih juga karena wasit anonim karena ucapannya yang berharga. Bagian dari penelitian ini dilakukan saat penulis mengunjungi Institut Isaac Newton untuk Ilmu Matematika. Keramahan mereka sangat dihargai. Lampiran A Kita akan membuktikan Lemma 4.1 melalui dua lemmas lainnya. Bukti. Kami mencatat bahwa Z adalah martingale lokal yang positif, oleh Fatous Lemma, ini adalah supermartingale. Oleh karena itu, kita dapat berasumsi tanpa kehilangan generalitas yang terjadi pada lt0 atau gt1, karena jika tidak, berikut dari properti supermartingale untuk Z. Dengan ketidaksetaraan Pemegang dan Pers. (2.5) Faktor pertama dalam ungkapan terakhir adalah terbatas karena prosesnya lagi merupakan martingale lokal yang positif sehingga menjadi supermartingale. Kuadrat dari faktor kedua dibatasi oleh dan oleh ketidaksamaan Jensens ini dibatasi oleh pengganda konstan kali sisi kiri Persamaan. (A.1). Yang melengkapi bukti lemma. Lemma A.2. Anggaplah itu adalah bilangan real positif seperti Strategi Optimalisasi Utang dengan Horizon Optimal Edward E. Jurnal Manajemen Aset Panen Aset Manajemen (JOIM), Triwulan III 2008 Abstrak: Implementasi portofolio merupakan bagian penting dari strategi investasi aktif. Likuiditas perdagangan - lamanya waktu yang dialokasikan untuk pelaksanaan perdagangan, merupakan pertimbangan penting dalam perdagangan portofolio. Penelitian sebelumnya mengenai trading yang optimal membatasi horison trading sebagai nilai tetap. Dalam tulisan ini, kami memperlakukannya sebagai faktor endogen dan menemukan cakrawala perdagangan yang optimal sebagai bagian dari strategi perdagangan yang optimal untuk mengurangi biaya perdagangan lebih lanjut. Kami memperoleh hasil analisis untuk strategi trading optimal dengan cakrawala optimal dan memberikan contoh numerik untuk ilustrasi. Kata kunci: Optimal trading, horizon perdagangan, manajemen portofolio JEL Klasifikasi: G00 Tanggal diposting: 7 Oktober 2008 Revisi terakhir: 19 Oktober 2010 Kutipan yang disarankan Qian, Edward E. Strategi Perdagangan yang Optimal dengan Horizon Optimal (6 Oktober 2008). Jurnal Manajemen Investasi (JOIM), Triwulan III 2008. Tersedia di SSRN: ssrnabstract1279701 Informasi Kontak Edward E. Qian (Hubungi Penulis) PanAgora Asset Management (email) 470 Atlantic Avenue, Lantai 8 Boston, MA 02210 Amerika Serikat 617-439-6327 (Telepon) Strategi perdagangan yang optimal dan dinamika penawaran dan dinamika Anna A. Obizhaeva a, 1. Jiang Wang b, c, d ,. Sekolah Bisnis Robert H. Smith, Universitas Maryland, 4428 Balai Van Munching, College Park, MD 20742, AS b Sloan School of Management, MIT, 100 Main Street, Cambridge, MA 02142, USA c CAFR, China d NBER, USA Diterima 28 Juli 2012. Tersedia online 12 September 2012. Dalam tulisan ini, kami mempelajari bagaimana permintaan pasokan intertemporal terhadap keamanan mempengaruhi strategi trading. Kami mengembangkan kerangka kerja umum untuk pasar buku pesanan terbatas untuk menangkap dinamika supplydemand. Kami menunjukkan bahwa strategi optimal untuk mengeksekusi pesanan tidak bergantung pada sifat statis dari supplydemand seperti spread bidask dan kedalaman pasar, ini bergantung pada sifat dinamisnya seperti ketahanan: kecepatan di mana supplydemand pulih ke kondisi stabil setelah perdagangan. . Secara umum, strategi optimal cukup kompleks, mencampuradukkan perdagangan besar dan kecil, dan secara substansial menurunkan biaya eksekusi. Perdagangan besar menghapus likuiditas yang ada untuk menarik likuiditas baru, sementara perdagangan kecil memungkinkan pedagang untuk lebih menyerap aliran likuiditas masuk. Perdagangan Likuiditas Optimal order eksekusi Limit order book JEL klasifikasi 1 Pendahuluan Persediaan supply efek keuangan pada umumnya tidak elastis sempurna. 2 Strategi trading apa yang optimal di pasar dengan persediaan atau likuiditas terbatas Bagaimana perbedaan aspek supplydemand mempengaruhi strategi optimal Seberapa signifikan penghematan biaya dari strategi trading yang optimal Pedagang menghadapi pertanyaan ini setiap saat berdagang. Jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini sangat penting untuk pemahaman kita tentang bagaimana pelaku pasar berperilaku, bagaimana likuiditas disediakan dan dikonsumsi, bagaimana pengaruhnya terhadap harga keamanan, dan yang lebih umum lagi, bagaimana fungsi pasar sekuritas berfungsi. Kami mendekati masalah ini dengan memusatkan perhatian pada strategi optimal seorang trader yang harus melakukan order selama jangka waktu tertentu. 3 Masalah ini juga disebut sebagai masalah eksekusi yang optimal. 4 Pekerjaan sebelumnya telah memberikan wawasan berharga tentang bagaimana likuiditas mempengaruhi perilaku perdagangan pelaku pasar (misalnya Bertsimas dan Lo, 1998. Almgren dan Chriss, 1999 dan Huberman dan Stanzl, 2005). Literatur ini cenderung melihat supplydemand sebagai objek statis saat menganalisis pengaruhnya terhadap strategi trading yang optimal. Secara khusus, ini menggambarkan permintaan atau penawaran keamanan yang menghadapi perdagangan besar (tergantung pada tandanya) dengan menentukan fungsi dampak harga seketika (yaitu jadwal penyetoran persediaan yang tidak sensitif). Likuiditas bagaimanapun dinamis menurut sifatnya. Kontribusi kami adalah untuk menunjukkan bahwa itu adalah sifat dinamis dari supplydemand seperti evolusi waktu setelah perdagangan, bukan sifat statisnya, seperti penyebaran dan kedalaman, yang penting bagi biaya perdagangan dan perancangan strategi yang optimal. Kami mengusulkan kerangka umum untuk memodelkan dinamika supplydemand. Kami mempertimbangkan pasar buku pesanan terbatas, di mana pasokan permintaan keamanan diwakili oleh perintah limit yang diposkan di buku dan perdagangan terjadi saat pesanan beli dan penjualan sesuai. Kami menggambarkan bentuk buku pesanan terbatas dan terutama bagaimana hal itu berkembang dari waktu ke waktu untuk menangkap sifat intertemporal pasokan yang dihadapi pedagang besar. Kami memilih untuk fokus pada pasar buku pesanan limit hanya untuk kenyamanan. Tujuan utama kami adalah untuk menunjukkan pentingnya dinamika supplydemand dalam menentukan strategi trading yang optimal, dan kesimpulan utama kami tetap berlaku untuk struktur pasar lainnya. Model kami secara eksplisit menggabungkan tiga karakteristik dasar likuiditas yang terdokumentasi secara empiris: spread bidask, kedalaman pasar, dan ketahanan. Dua fitur pertama spread bidask dan kedalaman pasar menangkap aspek statis likuiditas. Mereka terkait dengan bentuk buku limit order, yang menentukan berapa harga saat ini bergerak sebagai respons terhadap perdagangan. Penyebaran Bidask dan kedalaman pasar merupakan kunci untuk menentukan biaya transaksi yang trader hadapi saat eksekusi perdagangannya secara instan. Ketahanan fitur ketiga mencerminkan aspek dinamis likuiditas. Ketahanan berhubungan dengan bagaimana buku limit-order masa depan berkembang sebagai respons terhadap perdagangan saat ini. Kami berasumsi bahwa dampak harga awal secara bertahap menghilang seiring berjalannya waktu saat penyedia likuiditas baru masuk untuk mengisi kembali buku ini. Semakin jauh tanda kutip saat ini berasal dari tingkat mapan, penyedia likuiditas yang lebih agresif memposting pesanan baru. Kami menunjukkan bahwa strategi optimal sangat bergantung pada sifat dinamis dari buku pesanan terbatas. Strategi ini terdiri dari perdagangan besar awal, diikuti oleh serangkaian perdagangan kecil, dan perdagangan diskrit akhir untuk menyelesaikan pesanan. Kombinasi perdagangan besar dan kecil untuk strategi eksekusi yang optimal sangat berbeda dengan strategi sederhana untuk memisahkan pesanan secara merata menjadi perdagangan kecil, seperti yang disarankan pada penelitian sebelumnya (misalnya Bertsimas dan Lo, 1998 dan Almgren dan Chriss, 1999). Intuisi di balik pola perdagangan yang rumit itu sederhana. Perdagangan besar awal ditujukan untuk mendorong buku pesanan agar menjauh dari kondisi mantapnya untuk menarik penyedia likuiditas baru. Ukuran perdagangan besar dipilih secara optimal untuk menarik jumlah pesanan baru yang cukup sementara tidak menimbulkan biaya transaksi yang terlalu tinggi. Perdagangan kecil berikutnya kemudian memilih pesanan masuk dan menjaga arus masuk dengan harga yang diinginkan. Sebuah perdagangan diskrit akhir selesai dari perintah yang tersisa di akhir cakrawala perdagangan saat permintaan masa depan tidak lagi menjadi perhatian. Anehnya, strategi optimal dan penghematan biaya terutama bergantung pada sifat dinamis supplydemand dan tidak begitu sensitif terhadap sifat statis yang digambarkan oleh fungsi dampak harga sesaat, yang telah menjadi fokus utama pada pekerjaan sebelumnya. Secara khusus, kecepatan di mana buku pesanan membatasi membangun kembali dirinya sendiri setelah dipukul oleh sebuah perdagangan, yaitu ketahanan buku atau tingkat pengembaliannya, memainkan peran penting dalam menentukan strategi eksekusi yang optimal dan biaya yang dikeluarkannya. Selain itu, kami menemukan bahwa penghematan biaya dari strategi eksekusi optimal bisa jadi substansial. Sebagai ilustrasi, mari kita simak eksekusi order ukuran 20 kali kedalaman pasar dalam satu hari horizon. Di bawah perumusan fungsi supplydemand statis di Bertsimas dan Lo (1998) dan Almgren dan Chriss (1999). Strategi yang diajukan adalah menyebarkan pesanan secara merata seiring berjalannya waktu. Namun, ketika kita mempertimbangkan dinamika supplydemand, khususnya paruh waktu untuk buku pesanan limit untuk pulih setelah dipukul oleh perdagangan, biaya eksekusi pesanan di bawah strategi optimal lebih rendah daripada strategi sebenarnya. Misalnya, jika paruh waktu agar buku dapat pulih adalah 0,90 menit, yang relatif singkat, penghematan biaya adalah 0,33. Ini menjadi 1,88 saat paruh pemulihan adalah 5,40 menit dan 7,41 saat paruh pemulihan adalah 27,03 menit. Jelas, penghematan biaya meningkat dan menjadi penting saat waktu pemulihan buku meningkat. Banyak penulis telah mempelajari masalah eksekusi order yang optimal. Sebagai contoh, Bertsimas dan Lo (1998) mengusulkan fungsi dampak harga linier dan menyelesaikan strategi eksekusi optimal untuk meminimalkan biaya yang diharapkan dari pelaksanaan perintah yang diberikan. Almgren dan Chriss, 1999 dan Almgren dan Chriss, 2000 memasukkan pertimbangan risiko dalam setting yang serupa. 5 Kerangka yang digunakan dalam penelitian ini bergantung pada fungsi dampak harga statis pada satu set waktu perdagangan tetap. Memperbaiki waktu perdagangan jelas tidak diinginkan karena waktu perdagangan merupakan variabel pilihan yang penting dan harus ditentukan secara optimal. Lebih penting lagi, fungsi dampak harga statis yang ditentukan sebelumnya gagal menangkap sifat penawaran jalur intertemporal. Mereka mengabaikan bagaimana jalur perdagangan mempengaruhi evolusi buku ini di masa depan. Sebagai contoh, Bertsimas dan Lo (1998) mengasumsikan fungsi dampak harga statis linier. Akibatnya, dampak harga keseluruhan dari rangkaian perdagangan bergantung hanya pada ukuran total dan tidak bergantung pada distribusinya dari waktu ke waktu. Selain itu, biaya eksekusi menjadi strategi yang independen bila perdagangan yang lebih sering diperbolehkan. Almgren dan Chriss, 1999 dan Almgren dan Chriss, 2000 dan Huberman dan Stanzl (2005) memperkenalkan dampak harga sementara sebagai modifikasi, yang bergantung pada kecepatan perdagangan. Dampak harga sementara menambahkan elemen dinamis ke fungsi dampak harga dengan menghukum perdagangan cepat. Pendekatan ini, bagaimanapun, membatasi strategi eksekusi untuk melakukan perdagangan terus menerus, yang pada umumnya kurang optimal. Apa analisis sebelumnya tidak sepenuhnya menangkap adalah bagaimana pengisian likuiditas di pasar, serta bagaimana ia berinteraksi dengan perdagangan. Kerangka kerja kami secara eksplisit menggambarkan proses ini dengan secara langsung memodelkan dinamika buku di pasar buku pesanan terbatas, yang, seperti kami tunjukkan, sangat penting dalam menentukan strategi pelaksanaan yang optimal. 6 Selain bukti empiris, perilaku dinamis buku yang kita coba jepret juga konsisten dengan model ekuilibrium dari pasar buku pesanan limit. Ide likuiditas dikonsumsi oleh perdagangan dan kemudian diisi kembali karena penyedia likuiditas tambahan berusaha untuk mendapatkan keuntungan berada di belakang sebagian besar model ini. Misalnya, Foucault (1999). Foucault, Kadan, dan Kandel (2005). Dan Goettler, Parlor, dan Rajan (2005) membangun model teoritis pasar buku pesanan limit, yang menunjukkan tingkat ketahanan yang berbeda namun terbatas dalam keseimbangan, tergantung pada karakteristik pelaku pasar. 7 Tingkat ketahanan mencerminkan jumlah likuiditas tersembunyi di pasar. Kerangka kerja kami memungkinkan kami untuk menangkap aspek dinamis dari supplydemand ini secara fleksibel dan untuk menguji strategi eksekusi optimal di bawah kondisi pasar yang lebih realistis. Analisis kami adalah ekuilibrium parsial di alam, mengambil dinamika dari buku limit order seperti yang diberikan. Meskipun kami tidak berusaha memberikan justifikasi ekuilibrium untuk dinamika buku pesanan limit tertentu yang digunakan di kertas, kerangka kerja kami memungkinkan dinamika yang lebih umum. Dalam penelitian lanjutan, beberapa penulis telah menggunakan kerangka kerja ini untuk memasukkan perilaku buku yang lebih kaya. Misalnya, Alfonsi dkk. (2010) mempertimbangkan bentuk umum dari buku pesanan limit dan Predoiu, Shaikhet, dan Shreve (2010) yang memungkinkan pesanan terpisah dan dinamika yang lebih umum. Mengakhiri dinamika buku pesanan limit dalam pengaturan ekuilibrium penuh tentu saja diinginkan, namun menantang. Model ekuilibrium yang ada, seperti yang disebutkan di atas, harus membatasi secara ketat seperangkat strategi penempatan pesanan yang dapat diterima. Misalnya, Foucault, Kadan, dan Kandel (2005). Rou, 2008 dan Rou, 2009 hanya mengizinkan pesanan dengan ukuran tetap dan Goettler, Parlor, dan Rajan (2005) berfokus pada strategi satu tembakan. Penyederhanaan ini sangat membantu dalam memperoleh beberapa sifat sederhana dari buku ini, namun sangat membatasi saat menganalisis strategi perdagangan yang optimal. Model ekuilibrium yang lebih umum dan realistis harus memungkinkan strategi umum. Dari perspektif ini, analisis kami, yaitu memecahkan strategi eksekusi optimal di bawah dinamika penawaran umum dan umum, merupakan langkah kunci dalam arah ini. Sisa makalah ini disusun sebagai berikut. Bagian 2 menyatakan masalah eksekusi yang optimal. Bagian 3 memperkenalkan kerangka buku pesanan terbatas. Bagian 4 menunjukkan bahwa pengaturan konvensional pada pekerjaan sebelumnya dapat dipandang sebagai kerangka khusus kerangka kerja kita, yang melibatkan asumsi yang tidak realistis dan sifat yang tidak diinginkan. Bagian 5 memberikan solusi untuk masalah pada waktu diskrit. Bagian 6 memberikan solusi untuk masalah dalam waktu terus menerus. Bagian 7 menganalisis sifat dan penghematan biaya dari strategi optimal. Bagian 8 membahas ekstensi. Bagian 9 diakhiri. Semua bukti diberikan dalam Lampiran. 2 Pernyataan masalah Masalah yang kita minati adalah bagaimana seorang pedagang secara optimal mengeksekusi perintah yang diberikan. Kami berasumsi bahwa trader harus membeli X 0 units of security selama periode waktu tertentu. Misalkan trader melengkapi order dalam trading di kali, dimana dan. Misalkan menunjukkan ukuran perdagangan untuk perdagangan pada t n. Kami kemudian memiliki strategi untuk melaksanakan order yang diberikan oleh jumlah perdagangan,, himpunan waktu untuk perdagangan, dan ukuran perdagangan. Anggaplah seperangkat strategi ini: Di ​​sini, kita mengasumsikan bahwa strategi yang ditetapkan terdiri dari strategi eksekusi dengan jumlah perdagangan terbatas pada waktu diskrit. Hal ini dilakukan hanya untuk memudahkan perbandingan dengan pekerjaan sebelumnya. Nantinya kita akan memperluas strategi yang ditetapkan untuk memungkinkan jumlah perdagangan yang tidak terhitung dari waktu ke waktu juga (Bagian 6). Misalkan menunjukkan harga eksekusi rata-rata untuk perdagangan. Pedagang memilih strategi pelaksanaannya di atas cakrawala perdagangan tertentu T untuk meminimalkan total biaya yang diharapkan dari pembeliannya: Fungsi obyektif ini menyiratkan bahwa pedagang berisiko-netral hanya peduli tentang nilai yang diharapkan namun bukan ketidakpastian dari total biaya. Selanjutnya, kita akan memasukkan pertimbangan risiko (dalam Bagian 8). Penting untuk diketahui bahwa harga eksekusi untuk perdagangan x n pada umumnya tidak hanya bergantung pada x n. Ukuran perdagangan saat ini, tapi juga semua perdagangan masa lalu. Ketergantungan semacam itu mencerminkan dua dimensi dampak harga perdagangan. Pertama, perubahan keamanan saat ini supplydemand. Sebagai contoh, setelah pembelian x unit keamanan dengan harga saat ini, persediaan keamanan yang tersisa pada biasanya menurun. Kedua, perubahan supplydemand saat ini dapat mempengaruhi supplydemand masa depan dan oleh karena itu biaya untuk perdagangan masa depan. Dengan kata lain, dampak harga ditentukan oleh dinamika penawaran pasokan secara penuh sebagai tanggapan terhadap perdagangan. Untuk menentukan dan menyelesaikan masalah eksekusi secara optimal, kita perlu menentukan dinamika supplydemand secara tepat. 3 Limit order book dan supplydemand dynamics Permintaan aktual dari keamanan dan dinamikanya bergantung pada proses perdagangan sebenarnya. Dari pasar yang berbeda, proses perdagangan bervariasi secara signifikan, mulai dari pasar spesialis, pasar dealer hingga pasar elektronik terpusat dengan buku pesanan terbatas. Dalam tulisan ini, kami mempertimbangkan limit order book market. Namun, analisis kami bersifat umum, dan kami mengharapkan hasil kami relevan untuk struktur pasar lainnya juga. 3.1 Limit order book Sebuah limit order adalah perintah untuk menukar sejumlah saham tertentu dengan harga tertentu. Di pasar yang dioperasikan melalui buku pesanan terbatas (limit order book / LOB), pedagang memposting permintaan penawaran mereka dalam bentuk limit order ke sistem perdagangan elektronik. 8 Suatu perdagangan terjadi ketika sebuah perintah, katakanlah pesanan beli, masuk ke sistem dengan harga yang berlawanan dengan buku ini, dalam hal ini order sell. Pengumpulan semua limit order yang diposting bisa dilihat sebagai total demand dan supply yang ada di pasaran. Membiarkan menjadi kerapatan limit order untuk dijual dengan harga P. Dan biarkan menjadi kerapatan limit order untuk membeli dengan harga P. Jumlah pesanan jual dalam interval harga kecil adalah. Biasanya, kita memiliki harga permintaan dan penawaran terbaik masing-masing. Kami menentukan di mana V adalah harga penawaran pertengahan dan s adalah spread bidask. Lalu, dan. Karena kita mempertimbangkan pelaksanaan pesanan beli yang besar, kita fokus pada bagian atas LOB dan cukup turunkan subskrip A. Untuk memodelkan biaya eksekusi untuk pesanan besar, kita perlu menentukan LOB awal dan bagaimana kinerjanya berkembang setelah dilanda serangkaian perdagangan belanjaan. Biarkan LOB (bagian atas) pada waktu t, dimana F t menunjukkan nilai fundamental keamanan dan Z t mewakili himpunan variabel keadaan yang dapat mempengaruhi LOB seperti perdagangan masa lalu. Kami menganggap di sini model sederhana untuk LOB yang menangkap sifat dinamisnya. Model ini memungkinkan kita untuk menggambarkan pentingnya dinamika supplydemand untuk menganalisis masalah eksekusi yang optimal. Kami membahas di bawah bagaimana memperluas model ini agar lebih sesuai dengan dinamika LOB empiris (Bagian 8). Nilai fundamental F t mengikuti gerakan Brown yang mencerminkan fakta bahwa, jika tidak ada perdagangan, harga penawaran pertengahan mungkin akan berubah karena berita tentang nilai fundamental. Jadi, V t F t dengan tidak adanya perdagangan apapun, dan LOB mempertahankan bentuk yang sama kecuali titik tengah, V t. Berubah dengan F t. Untuk kesederhanaan, kita asumsikan bahwa satu-satunya variabel negara yang relevan Z t adalah sejarah perdagangan masa lalu, yang dilambangkan dengan. Pada saat 0, kutipan tengahnya adalah dan LOB memiliki kerapatan bentuk blok sederhana, di mana harga tanya awal dan merupakan fungsi indikator: Dengan kata lain, q 0 adalah fungsi langkah P dengan lompatan dari nol ke Q pada harga yang diminta Panel A dari Gambar. 1 menunjukkan bentuk buku pada waktu 0. Gambar. 1. Buku limit order dan dinamikanya. Angka ini menggambarkan bagaimana sisi jual dari buku pesanan terbatas berkembang dari waktu ke waktu sebagai respons terhadap perdagangan beli. Sebelum perdagangan pada waktunya, buku limit order penuh dengan harga permintaan, yang ditunjukkan pada panel pertama dari kiri. Perdagangan ukuran x 0 pada t 0 memakan pesanan di buku dengan harga terendah dan mendorong harga permintaan sampai, seperti yang ditunjukkan pada panel kedua. Selama periode berikutnya, pesanan baru akan sampai pada harga yang diminta A t. Perintah ini mengisi buku dan menurunkan harga permintaan sampai harga ini konvergen ke kondisi mantap baru, seperti yang ditunjukkan pada panel terakhir di sebelah kanan. Untuk kejelasan, kami berasumsi bahwa tidak ada kejutan mendasar selama periode ini. Sekarang kita pertimbangkan untuk membeli perdagangan dengan ukuran x 0 saham pada t 0. Perdagangan akan memakan semua perintah jual dengan harga dari atas sampai, dimana diberikan oleh Dari rumus ini, kita menemukan bahwa harga permintaan baru adalah. Harga eksekusi rata-rata untuk perdagangan x 0 adalah linier dalam ukuran perdagangan dan sama dengan. Dengan demikian, bentuk blok LOB konsisten dengan fungsi dampak harga linier yang diasumsikan dalam pekerjaan sebelumnya. Ini juga alasan utama kita mengadopsi spesifikasi ini disini. Tepat setelah perdagangan, buku pesanan limit digambarkan sebagai tempat harga permintaan baru. Pesanan dengan harga di bawah semuanya telah dieksekusi. The book is left with sell limit orders at prices above (including) . Panel B of Fig. 1 plots the limit order book right after the trade. 3.2 Limit order book dynamics We next specify how the LOB evolves over time after being hit by a trade. This amounts to describing how new sell limit orders arrive to fill the book. First, we need to specify the impact of the trade on the mid-quote price. Usually, the mid-quote price will be shifted up by the trade. We assume that the shift in the mid-quote price is linear in the size of the total trade. That is, where and corresponds to the permanent price impact of trade x 0 . If initial trade x 0 at t 0 is not followed by other trades and if there are no shocks to the fundamentals, then as time t goes to infinity, the limit order book eventually converges to its new steady state: where the new mid-quote and ask price . Next we need to specify how the limit-order book converges to its steady state. Note that right after the trade, the ask price is , while in the steady state it is . The difference between the two is . We assume that the limit-order book converges to its steady state exponentially, in the absence of new trades and changes in fundamental F t . and parameter corresponds to the convergence speed, which measures the resilience of the LOB. If we define D t being the deviation of current ask price A t from its steady state level , then Eqs. (5) and (6) imply that after a buy trade x 0 . the new sell limit orders will start coming into the book at the new ask price A t at the rate of . Thus, the further the current ask price is from its steady state, the more aggressively liquidity providers step in and post new orders to offer replenished liquidity. Panel C to Panel E in Fig. 1 illustrate the time evolution of the LOB after a buy trade. We can easily extend the LOB dynamics to allow multiple trades and shocks to the fundamental value. Let n ( t ) denote the number of trades during interval . Define a trading sequence with n ( t ) trades at times of size . Let X t be the remaining order to be executed at time t . before trading at time t occurs. We have and If is the total amount of purchase during , then the mid-quote V t at any time t is The ask price at any time t is and the limit order book is given by (5). The above description can be extended to include sell orders, which may occur in the meantime shifting the mid-quote V t . But if they are not predictable, we can simply omit them, as they will not affect our analysis. Before we go ahead with the LOB dynamics and examine its implications for execution strategy, several comments are in order. First, the key feature of the LOB is its finite resilience, which is captured by , the refresh rate of the book. This is motivated by a range of empirical evidence such as those documented in Biais, Hillion, and Spatt (1995). Hamao and Hasbrouck (1995). and Coppejans, Domowitz, and Madhavan (2004). diantara yang lain. Second, although the LOB dynamics specified here is taken as given, without additional equilibrium justification, its qualitative behavior, namely, the finite resilience, is consistent with those obtained in simple equilibrium models of LOB markets considered by Foucault, Kadan, and Kandel (2005) and Goettler, Parlou, and Rajan (2005) . 9 Third, existing equilibrium models are inadequate for analyzing the problem of execution as they limit the admissible strategies severely by restricting trade size and frequency. Thus, in order to develop a full equilibrium model for the execution problem, we first need to know its solution under general demandsupply dynamics and then arrive at equilibrium dynamics. From this point of view, this paper focuses on the first part of this undertaking. Fourth, our setting is very flexible in allowing an arbitrary shape of the book and rich dynamics for its time evolution in response to an arbitrary set of trades. Since the main goal of this paper is to demonstrate the importance of supplydemand dynamics in determining the optimal trading behavior rather than obtaining a general solution to the problem, we narrow down our analysis to a specific case of the general setting. The qualitative conclusions we obtain from the simple case remain robust when more general forms of the book and its dynamics are allowed, as follow-up research has shown (e. g. Alfonsi et al. 2010 ). 3.3 Execution cost Given the LOB dynamics, we can describe the total cost of an execution strategy for a given order X 0 . Let denote the trade at time t n . and denote the ask price at time t n prior to this trade. Since the evolution of the ask price A t in (10) is not continuous, we denote by A t the left limit of A t . , i. e. the ask price before the trade at time t . The same convention is followed for V t as well. The cost for a single trade is then given by For the block-shaped LOB given in (5). we have and The total cost of trades of size , , is . Thus, the optimal execution problem (3) is reduced to under the LOB dynamics given in (9) and (10) . 4 Conventional models as a special case Previous work on the optimal execution strategy usually uses a discrete-time setting with fixed time intervals (e. g. Bertsimas and Lo, 1998. Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 ). Such a setting, however, avoids the question of how to determine the optimal trading times. In this section, we show that it represents a special case of our framework with specific restrictions on the LOB dynamics, which lead to crucial limitations. 4.1 Conventional setup We first consider a simple discrete-time setting proposed by Bertsimas and Lo (1998). which captures the basic features of the models used in earlier work. In such a setting, the trader trades at fixed equally spaced time intervals, , where and , while trading horizon T and the number of trades N are given. Each trade has an impact on the price, which will affect the total cost of the trade and all future trades. Most models assume a linear price-impact function of the following form: where the subscript n denotes the n - th trade at , is the average price at which trade x n is executed with , is the price impact coefficient, and u n is an i. i.d. random variable with a mean of zero and a variance of . These assumptions are reasonable given the conclusion of Huberman and Stanzl (2004) that in the absence of quasi-arbitrage, permanent price-impact functions must be linear. In the second equation, we have set . Parameter captures the permanent price impact of a trade. The trader wishing to execute an order of size X 0 solves the following problem: where is defined in (15) and X n is a number of shares left to be acquired at time t n (before trade ) with . As shown in Bertsimas and Lo (1998). given that the objective function is quadratic in x n . it is optimal for the trader to split his order into small trades of equal sizes and execute them at regular intervals over the fixed period of time: 4.2 The continuous-time limit Although the discrete-time setting with a linear price impact function gives a simple and intuitive solution, it leaves a key question unanswered, namely, what determines the time-interval between trades. An intuitive way to address this question is to take the continuous-time limit of the discrete-time solution (i. e. to let N go to infinity). However, as Huberman and Stanzl (2005) point out, the solution to the discrete-time model (16) does not have a well-defined continuous-time limit. In fact, as , the cost of the trades as given in (16) approaches the following limit of: This limit depends only on the total trade size X 0 and not on the actual trading strategy itself. Thus, for a risk-neutral trader, the execution cost with continuous trading is a fixed number and any continuous strategy is as good as another. Consequently, the discrete-time model does not have a well-behaved continuous-time limit. 10 The intuition is that a trader can simply walk up the supply curve, and the speed of his trading is irrelevant. Without increasing the cost, the trader can choose to trade intensely at the very beginning and complete the whole order in an arbitrarily small period. For example, if the trader becomes slightly risk averse, he will choose to finish all the trades right at the beginning, irrespective of their price impact. 11 Such a situation is clearly undesirable and economically unreasonable. 4.3 A special case of our framework We can see the limitations of the conventional model by considering it as a special case of our framework. Indeed, we can specify the parameters in the LOB framework so that it will be equivalent to the conventional setting. First, we set the trading times at fixed intervals: , . Next, we make the following assumptions about the LOB dynamics as described in (5) and (9) : where the second equation simply states that the price impact coefficient in the LOB framework is set to be equal to its counterpart in the conventional setting. These restrictions imply the following dynamics for the LOB. As it follows from (10). after the trade x n at t n ( ), the ask price jumps from level to level . Since resilience is infinite, over the next period, ask price comes all the way down to the new steady state level of (assuming no fundamental shocks from t n to ). Thus, the dynamics of ask price is equivalent to the dynamics of in (15) . For the parameters in (18). the cost for trade is given in (13). which becomes which is the same as the trading cost in the conventional model (16). Thus, the conventional model is a special case of the LOB framework with the parameters in (18) . The main restrictive assumption we have to make to obtain the conventional setup is . This assumption means that the LOB always converges to its steady state before the next trading time. This is not crucial if the time between trades is held fixed. If the time between trades is allowed to shrink, this assumption becomes unrealistic. It takes time for the new limit orders to come in to fill up the book again. In reality, the shape of the limit order book after a trade depends on the flow of new orders as well as the time elapsed. As the time between trades shrinks to zero, the assumption of infinite recovery speed becomes less reasonable and gives rise to the problems in the continuous-time limit of the conventional model. 4.4 Temporary price impact This problem has led several authors to modify the conventional setting. He and Mamaysky (2005). for example, directly formulate the problem in continuous-time and impose fixed transaction costs to rule out any continuous trading strategies. Similar to the more general price impact function considered by Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 and Huberman and Stanzl (2005) proposes a temporary price impact of a particular form to penalize high-intensity continuous trading. Both of these modifications limit us to a subset of feasible strategies, which is in general sub-optimal. Given its closeness to our paper, we now briefly discuss the modification with a temporary price impact. Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 include a temporary component in the price impact function, which can depend on the trading interval . The temporary price impact gives additional flexibility in dealing with the continuous-time limit of the problem. In particular, they specify the following dynamics for the execution prices of trades: where is the same as given in (15). is the time between trades, and describes a temporary price impact and reflects temporary price deviations from equilibrium caused by trading. With and , the temporary price impact penalizes high trading volume per unit of time, . Using a linear form for , , it is easy to show that as N goes to infinity, the expected execution cost approaches to (e. g. Grinold and Kahn, 2000 Huberman and Stanzl, 2005 ). Clearly, with the temporary price impact, the optimal execution strategy has a continuous-time limit. In fact, it is very similar to its discrete-time counterpart: This strategy is deterministic and the trading intensity, defined by the limit of , is constant over time. 12 The temporary price impact reflects an important aspect of the market, namely, the difference between short-term and long-term supplydemand. If a trader speeds up his buy trades, as he can do in the continuous-time limit, he will deplete the short-term supply and increase the immediate cost for additional trades. As more time is allowed between trades, supply will gradually recover. However, as a heuristic modification, the temporary price impact does not provide an accurate and complete description of the supplydemand dynamics. This leads to several drawbacks. For example, the temporary price impact function in the form considered by Almgren and Chriss (2000) and Huberman and Stanzl (2005) rules out the possibility of discrete trades. This is not only artificial but also undesirable. As we show later, the optimal execution strategy generally involves both discrete and continuous trades. Moreover, introducing the temporary price impact does not capture the full dynamics of supplydemand. For example, two sets of trades close to each other in time versus far apart will generate different supplydemand dynamics, while in Huberman and Stanzl (2005) they lead to the same dynamics. Finally, simply specifying a particular form for the temporary price impact function says little about the underlying economic factors that determine it. 5 Discrete-time solution We now return to our general framework and solve for the optimal execution strategy. Suppose that trading times are fixed at , where and . We consider the corresponding strategies within the strategy set defined in Section 2. Using (3). (9). (10) and (14). the optimal execution problem is reduced to where F t follows a random walk. This problem can be solved using dynamic programming. Proposition 1 The solution to the optimal execution problem (20) is with and . The expected cost for future trades under the optimal strategy is determined according to The table reports values of optimal discrete trades x 0 and x T at the beginning and the end of the trading horizon and the intensity of continuous trades in between for an order of for different values of the LOB resilience parameter or the half-life of an LOB disturbance , which is defined as . The initial ask price is 100, the market depth is set at q 5,000 units, the (permanent) price-impact coefficient is set at , and the trading horizon is set at T 1 day, which is 6.5 hours (390 minutes). Table 2 reports the relative improvement in the expected net execution cost by the optimal execution strategy over the simple strategy of the conventional setting. Let us first consider the extreme case in which the resilience of the LOB is very small, e. g. and the half-life for the LOB to rebuild itself after being hit by a trade is 693.15 days. In this case, even though the optimal execution strategy looks very different from the simple execution strategy, as shown in Fig. 4. the improvement in execution cost is minuscule. This is not surprising as we know the execution cost becomes strategy independent when . For a modest value of , e. g. with a half life of 135 minutes (2 hours and 15 minutes), the improvement in execution cost ranges from 4.32 for to 11.92 for . When becomes large and the LOB becomes very resilient, e. g. and the half-life of LOB deviation is 0.90 minute, the improvement in execution cost becomes small again, with a maximum of 0.33 when . This is again expected as we know that the simple strategy is close to the optimal strategy when (as in this limit, the cost becomes strategy independent). Table 2. Cost savings by the optimal execution strategy from the simple trading strategy. Relative improvement in expected net execution cost is reported for different values of LOB resilience coefficient and the permanent price-impact coefficient . The order size is set at 100,000, the market depth is set at q 5,000, and the horizon for execution is set at T 1 day (equivalent of 390 minutes). Ara. 4. Optimal strategy versus simple strategy from the conventional models. The figure plots the time paths of remaining order to be executed for the optimal strategy (solid line) and the simple strategy obtained from the conventional models (dashed line), respectively. The order size is set at , the initial ask price is set at 100, the market depth is set at q 5,000 units, the (permanent) price-impact coefficient is set at , and the trading horizon is set at T 1 day, which is assumed to be 6.5 hours (390 minutes). Panels A, B, and C plot the strategies for and 1,000, respectively. Table 2 also reveals an interesting result. The relative savings in execution cost by the optimal execution strategy is the highest when , i. e. when the permanent price impact is zero. Of course, the magnitude of net execution cost becomes very small as goes to zero. 13 In order to see the difference between the optimal strategy and the simple strategy obtained in conventional settings, we compare their profiles X t in Fig. 4. The solid line shows the optimal execution strategy of the LOB framework and the dashed line shows the execution strategy of the conventional setting. Obviously, the difference between the two strategies are more significant for smaller values of . 8 Extensions We have used a parsimonious LOB model to analyze the impact of supplydynamics on optimal execution strategy. Obviously, the simple characteristics of the model does not reflect the richness in the LOB dynamics observed in the market. The framework we developed, however, is quite flexible to allow for extensions in various directions. In this section, we briefly discuss some of them. 8.1 Time varying LOB resilience Our model can easily incorporate time variation in LOB resilience. It has been documented that trading volume, order flows, and transaction costs all exhibit U-shaped intraday patterns. These variables are high at the opening of the trading day, then fall to lower levels during the day and finally rise again towards the close of a trading day. This suggests that the liquidity in the market may well vary over a trading day. Monch (2004) has attempted to incorporate such a time-variation in the conventional models. We can easily allow for deterministic time variation in LOB dynamics. In particular, we can allow the resilience coefficient to be time dependent, for . The results in Proposition 1. Proposition 2 and Proposition 3 still hold if we replace by , by , and by . 8.2 Different shapes for LOB We have considered a simple shape for the LOB described by a step function with the constant density of limit orders placed at various price levels. As shown in Section 3. this form of the LOB is consistent with the static linear price-impact function widely used in the literature. Although Huberman and Stanzl (2004) have provided theoretical arguments in support of the linear price impact functions, the empirical literature has suggested that the shape of the LOB can be more complex (e. g. Hopman, 2007 ). Addressing this issue, we can allow more general shapes of the LOB in our framework. This will also make the LOB dynamics more convoluted. As a trade eats away the tip of the LOB, we have to specify how the LOB converges to its steady state. With a complicated shape for the LOB, this convergence process can take many forms. Modeling more complex shapes of the LOB involves assumptions about the flow of new orders at a range of prices. Recently, Alfonsi, Schied, and Schulz (2009) extended our analysis to LOB with a general density of placed limit orders. Remarkably, the authors find a close-form solution for a broad class of limit-order books and show that the suggested optimal strategies are qualitatively similar to those derived for a block-shaped LOB. Their findings thus confirm the robustness of our results. 8.3 Risk aversion We have considered the optimal execution problem for a risk-neutral trader. We can extend our framework to consider the optimal execution problem for a risk-averse trader as well. For tractability, we assume that this trade has a mean-variance objective function with a risk-aversion coefficient of a . The optimization problem (30) now becomes with (9). (28) and (29). At time T . the trader is forced to buy all of the remaining order X T . This leads to the following boundary condition: Since the only source of uncertainty in (32) is F t and only the trades executed in interval will be subject to uncertainty in F t . we can rewrite this formula in a more convenient form: Proposition 4 gives the solution to the problem for a risk-averse trader: Proposition 4 The optimal execution strategy for the optimization problem (33) is The value function is determined by where . The coefficients are given by It can be shown that as the risk aversion coefficient a goes to 0, the coefficients , , and converge to those in Proposition 2 that were obtained for a risk-neutral trader. The nature of the execution strategy that is optimal for a risk-averse trader remains qualitatively similar to the strategy that is optimal for a risk-neutral trader. A risk-averse trader will place discrete trades at the beginning and at the end of trading period and trade continuously in between. The initial and final discrete trades are, however, of different magnitude. The more risk averse the trader is, the faster he wants to execute his order to avoid future uncertainty and the more aggressive orders he submits in the beginning. The effect of traders risk aversion a on the optimal trading profile is shown in Fig. 5. Ara. 5. Profiles of optimal strategies for different coefficients of risk aversion a . This figure shows the profiles of optimal execution policies X t for the traders with different coefficients of risk aversion a 0 (solid line), a 0.05 (dashed line), and a 0.5 (dashed-dotted line) and a 1 (dotted line), respectively. The variable X t indicates how much shares still has to be executed before trading at time t . The order size is set at , the market depth is set at q 5,000 units, the permanent price-impact coefficient is set at , the trading horizon is set at T 1, and the resilience coefficient is set at . 9 Conclusion In this paper, we examine how the limited elasticity of the supplydemand of a security affects trading behavior of market participants. Our main goal is to demonstrate the importance of supplydemand dynamics in determining optimal trading strategies. The execution of orders is usually not costless. The execution prices are different from pre-trade benchmarks, since implemented transactions consume liquidity and change the remaining supplydemand. The supplydemand schedule right after a transaction will be determined by its static properties. Furthermore, trades often trigger a complex evolution of supplydemand. Rather then being permanent, its initial changes may partially dissipate over time as liquidity providers step in and replenish liquidity. Thus, supplydemand represents a complex object in the marketplace that changes in response to executed trades. While designing trading strategies traders have to take into account a full dynamics of supplydemand since their transactions are often spread over time. In this paper, we focus on the optimal execution problem faced by a trader who wishes to execute a large order over a given period of time. We explicitly model supplydemand as a limit order book market. The shape of a limit-order book determines static properties of supplydemand such as bidask spread and price impact. The dynamics of a limit order book in response to trades determines its dynamic properties such as resilience. We are interested in how various aspects of liquidity influence trading strategies. We show that when trading times are chosen optimally, the resilience is the key factor in determining the optimal execution strategy. The strategy involves discrete trades as well as continuous trades, instead of merely continuous trades as in previous work that focuses only on price impact and spread. The intuition is that traders can use discrete orders to aggressively consume available liquidity and induce liquidity providers to step in and place new orders into the trading system, thus making the execution of future trades cheaper. The developed framework for supplydemand is based on the limit order book market for convenience. Our main conclusions remain applicable to any other market structures. The framework is fairly general to accommodate rich forms of supplydemand dynamics. It represents a convenient tool for those who wish to fine-tune their trading strategies to realistic dynamics of supplydemand in the marketplace. Appendix A A.1 Proof of Proposition 1 From (A.1). the dynamics of D t between trades will beOptimal Arbitrage Trading We consider the position management problem for an agent trading a mean - reverting asset. This problem arises in many statistical and fundamental arbitrage trading situations when the short-term returns on an asset are predictable but limited risk-bearing capacity does not allow to fully exploit this predictability. The model is rather simple it does not require any inputs apart from the parameters of the price process and agents relative risk aversion. However, the model reproduces some realistic patterns of traders behaviour. We use the Ornstein-Uhlenbeck process to model the price process and consider a finite horizon power utility agent. The dynamic programming approach yields a non-linear PDE. It is solved explicitly, and simple formulas for the value function and the optimal trading strategy are obtained. We use Monte-Carlo simulation to check for the effects of parameter misspecification. Jika Anda mengalami masalah saat mendownload file, periksa apakah Anda memiliki aplikasi yang tepat untuk melihatnya terlebih dahulu. Jika terjadi masalah lebih lanjut baca halaman bantuan IDEAS. Perhatikan bahwa file-file ini tidak ada di situs IDEAS. Mohon bersabar karena berkasnya mungkin besar. Find related papers by JEL classification: G14 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Information and Market Efficiency Event Studies Insider Trading C61 - Mathematical and Quantitative Methods - - Mathematical Methods Programming Models Mathematical and Simulation Modeling - - - Optimization Techniques Programming Models Dynamic Analysis References listed on IDEAS Please report citation or reference errors to. atau. Jika Anda adalah penulis terdaftar dari karya yang dikutip, masuk ke profil Pengirim Layanan RePEc Anda. Klik kutipan dan buat penyesuaian yang sesuai. Lakner, Peter, 1998. Optimal trading strategy for an investor: the case of partial information , Stochastic Processes and their Applications. Elsevier, vol. 76(1), pages 77-97, August. Full references (including those not matched with items on IDEAS)The CitEc project has not yet found citations to this item.